Deux suites de fonctions (f_n)_n sont représentées ci-dessous (une pour a=1 et un autre pour a=2). Elles convergent toutes les deux simplement vers la fonction nulle f=0 : on peut observer par exemples les trois valeurs f(0,5), f(1) et f(1,5) qui tendent vers 0 (points rouges). Le sup de |f_n - f| est représenté par la ligne rouge horizontale : il tend vers 0 dans pour une des suites (convergence uniforme) mais pas pour l'autre.