Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001

51MT231

DST n˚ 4 Lundi 08 Janvier 2001

Exercice 1 [329] Soit f_{a} l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

M_{a} = ( \begin{matrix}−2 − a & −4 − 3a & a + 4 \\ a + 1 & 3a + 1 & −a − 1 \\ a + 1 & 3a − 1 & 1 − a \end{matrix} ) .

1. Déterminer les valeurs propres de f_{a}. Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f_{a} est-il diagonalisable sur ℝ?

2. Déterminer une base dans laquelle la matrice de f_{−2} est triangulaire supérieure.

3. On se place dans le cas où a = 0, et on pose f = f_{0}.

(a) Montrer qu’il existe une base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) dans laquelle la matrice de f est ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ).

Dans cette question et dans les suivantes, on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées des vecteurs u_{1}, u_{2} et u_{3} dans la base canonique. On pose v = u_{1} + u_{2} + u_{3}.

(b) Donner l’expression de f(v), f^{2}(v) et f^{3}(v) (où f^{n}(v) = \underbrace{f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f}_{n fois}(v)) en

fonction de u_{1}, u_{2} et u_{3}.

(c) En déduire que (v, f(v), f^{2}(v)) est une base de ℝ^{3}.

(d) Donner la matrice de f dans la base (v, f(v), f^{2}(v)).

Exercice 2 [330] Résoudre le système différentiel linéaire suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 13x − 20y − 10z \\ y′ = & 15x − 22y − 10z \\ z′ = & −15x + 20y + 8z. \end{matrix}

Barème indicatif : 1-1 : 5 points 1-2 : 3 points 1-3 : 6 points 2 : 6 points