Université Denis Diderot (Paris VII) 2000-2001 51MT232

Devoir sur Table n˚ 2 Lundi 2 avril 2001

Notation : Soit D une droite, et (u_{1}, u_{2}, u_{3}) une base orthonormée directe de ℝ^{3} telle que u_{1} est un vecteur de D. On dit qu’une isométrie f est une rotation d’axe D et d’angle θ si la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos θ & − sin θ \\ 0 & sin θ & cos θ \end{matrix} ).

Une isométrie f est une rotation si et seulement si son déterminant vaut 1.

Exercice 1 [331] On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. On considère la droite D engendrée

par le vecteur u_{1} = \frac{1}{5}(3, 0, −4).

1. Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3}, avec u_{2} = (0, 1, 0).

2. Donner les matrices dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de (a) p, la projection orthogonale sur D^{⊥};

(b) s, la symétrie orthogonale par rapport à D^{⊥};

(c) r, une rotation d’axe D et d’angle \frac{π}{3} .

3. Donner les matrices de p, s et r dans la base canonique.

Exercice 2 [332] On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. On considère f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est donnée par

M = ( \begin{matrix}2a & b & −a \\ −a & a & c \\ b & 2a & a \end{matrix} ).

1. Pour quelles valeurs de a, b et c f est-elle une isométrie ?

2. On se place dans le cas où a = \frac{4}{9}, b = \frac{1}{9} et c = −\frac{7}{9}.

(a) Montrer que f est une rotation.

(b) Déterminer son axe et le cosinus de son angle.

Exercice 3 [333] Soit E un espace euclidien de dimension n > 1. Soit F un sous-espace de E de dimension p, avec 1 ≤ p < n, et s la symétrie orthogonale par rapport à F. Calculer le déterminant de s.