Université Denis Diderot (Paris VII) 2000-2001 51MT232

Corrigé du DST n^{∘}2 Lundi 2 Avril 2001

Exercice 1

Question 1 On a ||u_{1}||^{2} = (3^{2} + (−4)^{2})/25 = 1 donc u_{1} est unitaire. De même u_{2} est unitaire, de plus il est orthogonal à u_{1} : (u_{1}|u_{2}) = 3×0+0×1+(−4)×0 = 0. Ainsi la famille (u_{1}, u_{2}) est orthonormale et on sait d’après le cours qu’on obtient une base orthonormale en prenant u_{3} = u_{1}∧u_{2}. On calcule u_{3} = (0×0−(−4)×1, −4×0−3×0, 3×1−0×0) = (4, 0, 3).

Question 2 u_{1} est un vecteur directeur de D par définition. u_{2} et u_{3} lui sont orthogonaux, donc sont des vecteurs de D^{⊥}.

Par définition, p est l’unique application linéaire qui vaut 0 sur D et id sur D^{⊥}. On a donc p(u_{1}) = 0, p(u_{2}) = u_{2} et p(u_{3}) = u_{3}, d’où la matrice de p :

Mat_{(u_{i})} p = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Par définition, s est l’unique application linéaire qui vaut −id sur D et id sur D^{⊥}. On a donc s(u_{1}) = −u_{1}, s(u_{2}) = u_{2} et s(u_{3}) = u_{3}, d’où la matrice de s :

Mat_{(u_{i})} s = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ).

Enfin (u_{1}, u_{2}, u_{3}) et D vérifient les hypothèses de la définition rappelée dans l´ énoncé, que l’on peut donc appliquer avec cos θ = 1/2 et sin θ = \sqrt{3}/2 :

Mat_{(u_{i})} r = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & −\sqrt{3}/2 \\ 0 & \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{matrix} ).

Question 3 Pour calculer l’image des vecteurs e_{1}, e_{2}, e_{3} de la base canonique, nous allons les décomposer dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) et utiliser la question précédente. On utilise pour cela le produit scalaire, grâce au fait que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est orthonormée :

e_{1} = <u_{1}, e_{1}>u_{1} + <u_{2}, e_{1}>u_{2} + <u_{3}, e_{1}>u_{3}
= \frac{3}{5} u_{1} + \frac{4}{5} u_{3}, et de même :
e_{2} = u_{2}, e_{3} = −\frac{4}{5}u_{1} + \frac{3}{5}u_{3}.

Par linéarité on a donc p(e_{1}) = 3/5 p(u_{1}) + 4/5 p(u_{3}), soit encore d’après la question précédente p(e_{1}) = 4/5 u_{3} = (16, 0, 12)/25. De même p(e_{2}) = u_{2} = (0, 1, 0) et p(e_{3}) = 3/5 u_{3} = (12, 0, 9)/25. On en déduit la matrice recherchée :

Mat_{(e_{i})} p = \frac{1}{25} ( \begin{matrix}16 & 0 & 12 \\ 0 & 25 & 0 \\ 12 & 0 & 9 \end{matrix} ).

On peut procéder exactement de même pour s ou, plus directement, utiliser la formule s = 2p−id que l’on démontre comme suit : soit x ∈ ℝ^{3}, x s’écrit de manière unique x = y +z avec y ∈ D et z ∈ D^{⊥}, on a alors (2p − id)(x) = 2p(y) + 2p(z) − y − z = 0 + 2z − y − z = −y + z = s(x). Matriciellement cela donne

Mat_{(e_{i})} s = 2 Mat_{(e_{i})} p − I_{2} = \frac{1}{25}( \begin{matrix}32−25 & 0 & 24 \\ 0 & 50−25 & 0 \\ 24 & 0 & 18−25 \end{matrix} ) = \frac{1}{25} ( \begin{matrix}7 & 0 & 24 \\ 0 & 25 & 0 \\ 24 & 0 & −7 \end{matrix} ).

Pour r on procède comme pour p, en réutilisant les décompositions de e_{1}, e_{2} et e_{3} dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) :

r(e_{1}) = \frac{3}{5}r(u_{1}) + \frac{4}{5}r(u_{3}) = \frac{3}{5}u_{1} + \frac{4}{5}( − \frac{\sqrt{3}}{2}u_{2} + \frac{1}{2}u_{3})

= \frac{1}{25}(9, 0, −12) + \frac{1}{5}(0, −2\sqrt{3}, 0) + \frac{1}{25}(8, 0, 6) = \frac{1}{25}(17, −10\sqrt{3}, −6),

r(e_{2}) = r(u_{2}) = \frac{1}{2}u_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}u_{3} = \frac{1}{10}(4\sqrt{3}, 5, 3\sqrt{3}) et
r(e_{3}) = −\frac{4}{5}u_{1} + \frac{3}{5}( − \frac{\sqrt{3}}{2}u_{2} + \frac{1}{2}u_{3})

= \frac{1}{25}(−12, 0, 16) + \frac{1}{10}(0, −3\sqrt{3}, 0) + \frac{1}{50}(12, 0, 9) = \frac{1}{50}(−12, −15\sqrt{3}, 41).

On peut alors remplir la matrice :

Mat_{(e_{i})} r = \frac{1}{50} ( \begin{matrix}34 & 20\sqrt{3} & −12 \\ −20\sqrt{3} & 25 & −15\sqrt{3} \\ −12 & 15\sqrt{3} & 41 \end{matrix} ).

Exercice 2

Question 1 f est une isométrie si et seulement si sa matrice M dans la base canonique est orthogonale — en effet la base canonique est orthonormale. De plus M est orthogonale si et seulement si la famille (C_{1}, C_{2}, C_{3}) de ses vecteurs colonnes est orthonormale. Cela fait 6 équations à écrire :

||C_{1}||^{2} = 1 ⇔ 5a^{2} + b^{2} = 1  (1)
||C_{2}||^{2} = 1 ⇔ 5a^{2} + b^{2} = 1  (2)
||C_{3}||^{2} = 1 ⇔ 2a^{2} + c^{2} = 1  (3)
<C_{1}, C_{2}> = 0 ⇔ 4ab − a^{2} = 0  (4)
<C_{1}, C_{3}> = 0 ⇔ ab − ac − 2a^{2} = 0  (5)
<C_{1}, C_{3}> = 0 ⇔ 2a^{2} + ac − ab = 0.  (6)

Dans ce système, (1) et (2) sont équivalentes, ainsi que (5) et (6) : on peut oublier (2) et (6). De plus a se factorise dans (4), (5) et (6). On va donc traiter deux cas :

– a = 0. Dans ce cas (4) et (5) sont toujours vraies, et (1) et (3) s’écrivent b^{2} = c^{2} = 1. On obtient 4 solutions du système : a = 0, b = ±1 et c = ±1.

– a ≠ 0. Dans ce cas on peut simplifier a dans (4) et (5) qui donnent un système linéaire : 4b − a = 0, b − c − 2a = 0 ⇔ a = 4b, c = −7b. En remplaçant dans (1) ou (2) on obtient la même égalité 81 b^{2} = 1. On obtient donc deux solutions supplémentaires du systèmes : a = 4/9, b = 1/9 et c = −7/9 d’une part ; a = −4/9, b = −1/9 et c = 7/9 d’autre part.

Question 2 D’après le rappel figurant sur l’énoncé, il suffit de montrer que le déterminant de f, qui est aussi celui de M, vaut 1. C’est bien le cas :

det \frac{1}{9} ( \begin{matrix}8 & 1 & −4 \\ −4 & 4 & −7 \\ 1 & 8 & 4 \end{matrix} ) = \frac{1}{9^{3}} | \begin{matrix}9 & 9 & 0 \\ −4 & 4 & −7 \\ 1 & 8 & 4 \end{matrix} | (L_{1} ← L_{1} + L_{3})

= \frac{1}{9^{3}} | \begin{matrix}9 & 0 & 0 \\ −4 & 8 & −7 \\ 1 & 7 & 4 \end{matrix} | (C_{2} ← C_{2} − C_{1})

= \frac{1}{9^{2}} (8 × 4 + 7 × 7) = \frac{81}{9^{2}} = 1

(développement par rapport à la première ligne).

D’après le rappel de l’énoncé, un vecteur directeur u_{1} de l’axe de la rotation est invariant : r(u_{1}) = u_{1}. On est donc amené à rechercher un vecteur propre de M associé à la valeur propre 1, c’est-à-dire à résoudre le système suivant :

\{ \begin{matrix}(8x + y − 4z)/9 = x \\ (−4x + 4y − 7z)/9 = y \\ (x + 8y + 4z)/9 = z \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−x + y − 4z \\ −4x − 5y − 7z = 0 \\ x + 8y − 5z = 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}y = z \\ x = −3z \end{matrix} .

Ainsi D = Vect (−3, 1, 1). Toujours d’après le rappel de l’énoncé, cos θ est donné par la formule Tr f = 2 cos θ+1 : en effet la trace de f est la trace de la matrice de f dans n’importe quelle base. En particulier on peut la calculer à partir de M : 2 cos θ + 1 = Tr M = 16/9, d’où cos θ = 7/18.