Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
MT232  groupe M4

Calcul différentiel

Exercice 1 [309] Soit f : ℝ ⟶ ℝ une fonction de classe C^{1}.

1. Soit g : ℝ^{2} \ {(0, 0)} ⟶ ℝ la fonction définie par g(x, y) = f (xye^{(x^{2}−y^{2})})· Montrer que la fonction g est de classe C^{1} et calculer les dérivées partielles de g au moyen de f′.

2. Soit h : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} la fonction définie par h(x, y) = (x + f(xy), \frac{y}{1 + x^{2}} )· Montrer

que la fonction h est de classe C^{1} et calculer la matrice jacobienne de h en tout point de ℝ^{2}.

Exercice 2 [310] Soit f : ℝ^{3} ⟶ ℝ une fonction de classe C^{1}.

1. Soit φ : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par φ(t) = f(t^{2}, t^{4}, e^{t}). Montrer que φ est dérivable. Pour tout nombre réel t, exprimer φ′(t) au moyen des dérivées partielles de f.

2. Soit g : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par g(x, y) = f(x sin(y), xy^{2}, x + y^{2}). Montrer que g est de classe C^{1} et calculer les dérivées partielles de g.

Exercice 3 [311] Soit f : ℝ^{3} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y, z) = x^{3}y + cos(xz). Soit g : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par g(x, y) = f(x^{2} + y^{2}, xy, x − y). Montrer que la fonction g est de classe C^{1} et calculer les dérivées partielles de g.

Exercice 4 [312] Soit f : ℝ_{+}^{∗} × ℝ_{+}^{∗} × ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y, z) = x^{y^{z}}. 1. Montrer que la fonction f est de classe C^{1} et calculer les dérivées partielles de f.

2. Soit g :]0, +∞[⟶ ℝ la fonction définie par g(x) = x^{x^{x}}. Montrer que g est dérivable et calculer g′(x) pour tout x > 0.

Exercice 5 [313] Le but de cet exercice est de chercher les fonctions f : ℝ^{2} ⟶ ℝ de classe C^{2} telles que

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} = 0. (∗)

1. Soient g et h deux fonctions de ℝ dans ℝ de classe C^{2}. Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = g(x) + h(y). Montrer que f est de classe C^{2} et que f est solution de (∗).

2. Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ une fonction de classe C^{2} qui vérifie (∗).

(a) Montrer qu’il existe une fonction φ : ℝ ⟶ ℝ de classe C^{1} telle que

\frac{∂f}{∂y} (x, y) = φ(y) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

(b) Montrer qu’il existe des fonctions g : ℝ ⟶ ℝ et h : ℝ ⟶ ℝ de classe C^{2} telles que f(x, y) = g(x) + h(y) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Exercice 6 [314] Considérons l’équation aux dérivées partielles

\frac{∂f}{∂x}(x, y) − (x + 1)e^{x} \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0. (∗)

1. Soit h : ℝ ⟶ ℝ une fonction de classe C^{1}. Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = h(y + xe^{x}). Montrer que f est de classe C^{1} et que f est solution de (∗).

2. Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ une fonction de classe C^{1} qui vérifie (∗). Soit h : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par h(t) = f(0, t) pour tout t ∈ ℝ.

(a) Montrer que la fonction h est de classe C^{1}.

(b) Soit t ∈ ℝ. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a h(t) = f(x, t − xe^{x}).

(c) En déduire que pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2} on a f(x, y) = h(y + xe^{x}).

3. Donner toutes les solutions de (∗).

Exercice 7 [315] Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par

\{ \begin{matrix}f(x, y) = \frac{xy(x^{2} − y^{2})}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ f(0, 0) = 0. \end{matrix}

1. Montrer que f est de classe C^{1}.

2. Montrer que les dérivées partielles secondes

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0)

existent. Les calculer.

3. La fonction f est-elle de classe C^{2} ?

Exercice 8 [316] Soit u : ℝ ⟶ ℝ une fonction de classe C^{2} et soit f : ℝ^{2} \ {(0, 0)} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = u (\sqrt{x^{2} + y^{2}}). Montrer que la fonction f est de classe C^{2} et que pour tout (x, y) ≠ (0, 0) on a l’égalité :

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y) = u′′(r) + \frac{1}{r}u′(r) où r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Exercice 9 [317] Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = y^{2} − x^{3} + 3x. 1. Calculer les dérivées partielles de f et trouver les points critiques de f.

2. Soit (x_{0}, y_{0}) un point de ℝ^{2} qui n’est pas un point critique de f. Posons a = f(x_{0}, y_{0}). Soit L la ligne de niveau a de f. Ecrire l’équation de la tangente à L au point (x_{0}, y_{0}).

3. Soit a un nombre réel.

(a) Etudier la fonction x ⟼ x^{3} − 3x + a.

(b) Dessiner les différentes allures de la ligne de niveau a de la fonction f.

Exercice 10 [318] Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 2(x − y)^{2}. Pour tout nombre réel a, notons L_{a} la ligne de niveau a de la fonction f.

1. Trouver les points critiques de f.

2. Soit a un nombre réel. Supposons que L_{a} n’est pas vide et que a ≠ 0 et a ≠ −8. Montrer que la courbe L_{a} a une tangente en tout point.

3. Montrer que pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}, on a f(x, y) + 8 = (x^{2} − 2)^{2} + (y^{2} − 2)^{2} + 2(x + y)^{2}.

4. En déduire que la fonction f admet un minimum m et préciser les points (x, y) en lesquels ce minimum est atteint.

5. Montrer que les lignes de niveau de f sont des parties compactes de ℝ^{2}.

Exercice 11 [319] Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = xy(x^{2} + y^{2} + xy − 1).

1. Que valent f(y, x) et f(−x, −y) ? Que peut-on en déduire sur les points critiques de f ?

2. Déterminer les points critiques de f.

3. Déterminer les extrema locaux de f.

4. La fonction f est-elle majorée ? Est-elle minorée ?

Exercice 12 [320] Etudier les extrema locaux des fonctions f : ℝ^{2} ⟶ ℝ suivantes :

\begin{matrix}(a) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 4xy & (b) f(x, y) = x^{3} + 3xy^{2} − 15x − 12y \\ (c) f(x, y) = (4x − 3y)e^{−(x^{2}+y^{2})} & (d) f(x, y) = (x − y)e^{xy}. \end{matrix}

Exercice 13 [321] Soit S la surface d’équation z = x − 2(x^{2} + y^{2})^{2}, c’est-à-dire soit

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = x − 2(x^{2} + y^{2})^{2}}.

1. Soit (a, b, c) ∈ S. Ecrire l’équation du plan tangent à S au point (a, b, c). En quels points le plan tangent à S est-il horizontal ?

2. Montrer qu’au point (0, 0, 0), la surface est en dessous de son plan tangent.

Exercice 14 [322] Soit S la surface d’équation z = (1 + x^{2} − y^{2})^{2} + 4x^{2}y^{2}, c’est-à-dire soit

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}| z = (1 + x^{2} − y^{2})^{2} + 4x^{2}y^{2}}.

1. En quels points le plan tangent à S est-il horizontal ?

2. En chacun de ces points, quelle est la position de S par rapport à son plan tangent ?

Exercice 15 [323] Etudier les extrema locaux des fonctions f : ℝ^{3} ⟶ ℝ suivantes :

(a) f(x, y, z) = z^{2}(1 + xy) + xy (b) f(x, y, z) = (x + y)e^{x+y−z^{2}}.