Université Denis Diderot (Paris VII)  1999-2000
51MT231  groupe M2

Diagonalisation, trigonalisation

Exercice 1 [208] Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie non nulle, soit a un vecteur de E et f un endomorphisme de E. Soit g : E ⟶ E l’application définie par :

g(x) = f(x) + a pour tout x ∈ E.

On suppose que 1 n’est pas valeur propre de f. Montrer qu’il existe un unique vecteur x_{0} ∈ E tel que g(x_{0}) = x_{0}.

Exercice 2 [209] Soit E un ℂ-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) une base de ℂ. On note f l’endomorphisme de E dont la matrice dans cette base est

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

1. Calculer les valeurs propres de f.

2. Montrer qu’il existe une base de E formée de vecteurs propres de f, et écrire la matrice de f dans cette base.

3. Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 3 [210] Soit n un entier positif, et soit E le ℝ-espace vectoriel des polynômes nul ou de degré inférieur ou égal à n.

1. Soit P un élément de E. Montrer que (X^{2} − 1)P′′ + (2X + 1)P′ ∈ E.

2. Soit f l’application de E définie par f(P) = (X^{2} − 1)P′′ + (2X + 1)P′.

(a) Montrer que f est un endomorphisme de E, et écrire sa matrice dans la base (1, X, ⋯, X^{n}).

(b) Déterminer les valeurs propres de f.

Exercice 4 [211] Soit f l’endomorphisme de ℂ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}4 & −5 & 7 \\ 1 & −4 & 9 \\ −4 & 0 & 5 \end{matrix} ) .

1. Calculer le polynôme caractéristique de f.

2. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

Exercice 5 [212] Soient f_{1} et f_{2} les endomorphismes de ℝ^{3} dont les matrices dans la base canonique sont

A_{1} = ( \begin{matrix}17 & 15 & 5 \\ −30 & −28 & −10 \\ 30 & 30 & 12 \end{matrix} ) et A_{2} = ( \begin{matrix}3 & 3 & −4 \\ −2 & −2 & 3 \\ 1 & 2 & −1 \end{matrix} ) .

Montrer que ces endomorphismes sont diagonalisables.

Exercice 6 [213] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}12 & 11 & 5 \\ −10 & −9 & −4 \\ −6 & −6 & −3 \end{matrix} ) .

1. Montrer qu’il existe une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

2. Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}) une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f. Posons v = e_{1} + e_{2} + e_{3}. Montrer que (v, f(v), f^{2}(v)) est une base de ℝ^{3}. Ecrire la matrice de f dans cette base.

Exercice 7 [214] Soit a ∈ ℝ. Posons A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 1 − a \\ −1 & 1 & a − 1 \\ a − 1 & 0 & 2a \end{matrix} ).

1. Montrer que 1 est valeur propre de A.

2. Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer que A est diagonalisable sur ℝ si et seulement si a = 1.

Exercice 8 [215] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}1 & −3 & 4 \\ 4 & −7 & 8 \\ 6 & −7 & 7 \end{matrix} ) .

1. Trouver une base de chaque sous-espace propre de f.

2. Montrer qu’il existe un vecteur e_{2} ∈ ℝ^{3} tel que f(e_{2}) ≠ −e_{2} et (f + id3)^{2}(e_{2}) = 0.

3. Soit e_{1} un vecteur propre de f pour la valeur propre −1, soit e_{2} un vecteur tel que f(e_{2}) ≠ −e_{2} et (f + id3)^{2}(e_{2}) = 0 et soit e_{3} un vecteur tel que (e_{1}, e_{2}, e_{3}) soit une base de ℝ^{3}. Montrer que la matrice de f dans la base (e_{1}, e_{2}, e_{3}) est triangulaire supérieure, et préciser les coefficients diagonaux de cette matrice.

4. Soit P le plan d’équation y = 2x dans ℝ^{3}.

(a) Trouver une base de P.

(b) Montrer que f(P) = P.

(c) Soit g : P ⟶ P l’application linéaire définie par g(x) = f(x) pour tout vecteur x de P. L’endomorphisme g est-il diagonalisable ?

Exercice 9 [216] Soit a ∈ ℝ. On pose A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −a & 1 + a \end{matrix} ). On note E le ℝ-espace vectoriel des suites (u_{n}) de nombres réels telles que

u_{n+2} = (1 + a)u_{n+1} − au_{n} pour tout n ∈ ℕ.

1. Montrer que la matrice A est trigonalisable sur ℝ.

2. Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable sur ℝ?

3. Calculer A^{n}, pour tout n ∈ ℕ. Pour quelles valeurs de a les suites des coefficients de la matrice A^{n} sont-elles bornées ? Sont-elles convergentes ?

4. Trouver une base du sous-espace vectoriel E_{b} des suites bornées de E.

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −4 & 4 & 0 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

1. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

2. Montrer que f est trigonalisable. Trouver une base de ℝ^{3} dans laquelle f est triangulaire supérieure.

3. Calculer (A − 2I_{3})^{2}. En déduire la valeur de A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 11 [218] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}8 & −5 & −15 \\ −1 & 4 & 3 \\ 2 & −2 & −3 \end{matrix} ) .

1. Trouver une base de chaque sous-espace propre. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

2. Trouver une base de ℝ^{3} dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.

Exercice 12 [219] Soient a un nombre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{4} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{matrix} ) .

1. Trouver une base de chaque sous-espace propre de f.

2. Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

Exercice 13 [220] Soient a un nombre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{4} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 3a \\ 2 & 0 & −2 & −2 \\ −2 & 1 & 2 & 3a \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

1. Calculer le polynôme caractéristique de f. Montrer que 1 est valeur propre de f.

2. On suppose que a ≠ 1. Montrer que f est diagonalisable si et seulement si a > 1.

3. On suppose que a = 1.

(a) Trouver une base de chaque sous-espace propre.

(b) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

(c) Trouver une base de ℝ^{4} dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.

(d) Calculer A^{n}, pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 14 [221] On note V l’ensemble des fonctions continues de ℝ_{+} dans ℝ qui ont une limite finie en +∞. Pour f ∈ V on note T (f) la fonction (ℝ_{+} → ℝ, x ↦ f(x + 1)). Ainsi T (f)(x) = f(x + 1).

1. Montrer que V est un ℝ-espace vectoriel pour l’addition des fonctions et la multiplication par un scalaire. Montrer que T : f ↦ T (f) définit une application linéaire de V dans V.

2. Vérifier que la formule suivante, où E(x) désigne la partie entière de x, définit une fonction f ∈ V :

f(x) = \frac{x − E(x) − 2}{2^{E(x)+1}}.

Montrer que f est vecteur propre de T. Quelle est la valeur propre associée ?

3. Soit λ une valeur propre de T et f un vecteur propre associé. En étudiant la suite (f(x+n))_{n} pour un réel x bien choisi, montrer que λ ∈] − 1, 1].

4. Soit λ ∈] − 1, 1]. Construire, par exemple en s’inspirant de 2., une fonction f ∈ V telle que T (f) = λf. Quel est l’ensemble des valeurs propres de T ?

Exercice 15 [222] Soit A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 3 & −4 & 12 \\ 1 & −2 & 5 \end{matrix} ). On se propose de chercher les matrices B ∈ M_{3}(ℂ)

telles que B^{3} = A.

1. Déterminer les valeurs propres de A et une matrice P telle que P^{−1}AP soit diagonale.

2. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont M est la matrice dans la base canonique, et g ∈ L(ℝ^{3}) tel que g^{3} = f. Montrer que g∘f = f ∘g. En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi des vecteurs propres pour g. Quelles possibilités a-t-on pour les valeurs propres associées ?

3. Résoudre l’équation B^{3} = A dans M_{n}(ℂ). Calculer la somme et le produit des solutions.

Exercice 16 [223] On pose M(a) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a + 1 & 3 \end{matrix} ) pour a ∈ ℝ.

1. Calculer le polynôme caractéristique de M(a). Pour quelle valeur de a M(a) admet-elle 2 comme valeur propre ? Montrer que M(a) est alors diagonalisable.

2. Déterminer une base de vecteurs propres de M(a) lorsque 2 en est valeur propre.

Exercice 17 [224] Trouver au moins une matrice X ∈ M_{3}(ℂ) telle que

X^{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ).

Exercice 18 [225] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}0 & 5 & −2 \\ 0 & −7 & 3 \\ −1 & −16 & 7 \end{matrix} ) .

Montrer que f est diagonalisable sur ℝ.