Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT232  groupe M4

Espaces euclidiens

Exercice 1 [288] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + 16z^{2} − 4xy + 6xz − 16yz pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Montrer que la forme bilinéaire symétrique associée à q est un produit scalaire.

2. On munit ℝ^{3} du produit scalaire associé à q. Orthonormaliser la base canonique selon le procédé de Gram-Schmidt.

Exercice 2 [289] Soient n un entier positif et E le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. Soit B : E × E ⟶ ℝ l’application définie par

B(P, Q) = ∫_{0}^{1} P (t)Q(t)dt pour tous polynômes P, Q ∈ E.

1. Montrer que B est un produit scalaire .

2. Montrer qu’il existe un unique polynôme H ∈ E tel que pour tout polynôme P de E on ait

∫_{0}^{1} H(t)P (t)dt = P′(0).

3. On suppose que n = 2 et on munit E du produit scalaire B.

(a) Orthonormaliser la base (1, X, X^{2}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

(b) Calculer le polynôme H.

Exercice 3 [290] On munit ℝ^{2} du produit scalaire usuel. Soit D la droite de ℝ^{2} d’équation x + 2y = 0. Soient p la projection orthogonale de ℝ^{2} sur D, et s la symétrie orthogonale de ℝ^{2} par rapport à D.

1. Ecrire les matrices de p et de s dans la base canonique.

2. Trouver toutes les droites Δ de ℝ^{2} telles que les droites Δ et s(Δ) sont orthogonales.

Exercice 4 [291] On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée par le vecteur (3, 1, 2). Quelle est la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale de ℝ^{3} sur la droite D?

Exercice 5 [292] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = 4x^{2} + 5y^{2} + 7z^{2} − 8xy + 8xz − 6yz pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Montrer que la forme bilinéaire symétrique associée à q est un produit scalaire.

2. On munit ℝ^{3} du produit scalaire associé à q. Quelle est la matrice dans la base canonique, de la projection orthogonale sur le plan d’équation z = 0 ?

Exercice 6 [293] Soit P le sous-espace vectoriel de ℝ^{4} d’équations

\{ \begin{matrix}x + 2y − t = 0 \\ x − 3y + z + t = 0. \end{matrix}

On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Quelle est la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale de ℝ^{4} par rapport à P ?

Exercice 7 [294] On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Soient u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} les vecteurs de ℝ^{4} définis par

u_{1} = (2, 1, 0, 2)  u_{2} = (0, 1, 0, 1)  u_{3} = (2, 1, 3, 1)  u_{4} = (1, 1, 1, 1).

1. Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) est une base de ℝ^{4}.

2. Orthonormaliser la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

3. Soit P le plan de ℝ^{4} engendré par les vecteurs u_{1} et u_{2}. Trouver la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

Exercice 8 [295] On considère l’espace euclidien orienté usuel ℝ^{3}. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée par le vecteur (1, −2, 2).

1. Trouver une équation de D^{⊥}.

2. Trouver une base orthonormée directe dont le premier vecteur appartient à D.

3. Quelles sont les matrices dans la base canonique de (a) la symétrie orthogonale par rapport à D?

(b) la rotation d’axe D et d’angle \frac{π}{2} ?

(c) la rotation d’axe D et d’angle \frac{2π}{3} ?

Pour les deux dernières questions, le plan D^{⊥} est orienté par le choix du vecteur unitaire

e = \frac{1}{∥(1, −2, 2)∥}(1, −2, 2).

Exercice 9 [296] On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Soient a, b, c, d des nombres réels et soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}b & a & a \\ a & c & a \\ a & a & d \end{matrix} ) .

1. Pour quelles valeurs de a, b, c, d la matrice A est-elle orthogonale ?

2. Pour quelles valeurs de a, b, c, d l’endomorphisme f est-il une symétrie orthogonale par rapport à un plan ? Dans ce cas, préciser par rapport à quel plan.

3. Pour quelles valeurs de a, b, c, d l’endomorphisme f est-il une rotation ? Dans ce cas, préciser l’axe et l’angle de f.

Exercice 10 [297] On munit ℝ^{2} du produit scalaire usuel et on note ⟨u|v⟩ le produit scalaire des vecteurs u, v de ℝ^{2}. Soit q : ℝ^{2} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y) = 2x^{2} + 2\sqrt{2}xy + 3y^{2} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

1. Quelle est la matrice A de q dans la base canonique ?

2. Soit f l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est A.

(a) Montrer que pour tout vecteur u ∈ ℝ^{2} on a q(u) = ⟨f(u)|u⟩.

(b) Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}) de ℝ^{2} dans laquelle la matrice de f est

diagonale. Calculer q(au_{1} + bu_{2}) pour tous nombres réels a et b.

3. Trouver une base orthonormée de ℝ^{2} qui est orthogonale pour q.

4. Dessiner la ligne de niveau 4 de la fonction q.

Exercice 11 [298] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} (que l’on munit du produit scalaire usuel) dont la matrice dans la base canonique est

A = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ −1 & −2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

1. Montrer que f est une isométrie.

2. Montrer que f a une unique valeur propre que l’on déterminera.

3. Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} telle que u_{1} est vecteur propre de f.

4. Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

5. Montrer qu’il existe une unique rotation r et une unique symétrie orthogonale s par rapport à un plan telles que f = r ∘ s = s ∘ r. Préciser l’axe et la mesure de r.

Exercice 12 [299] Soit E un espace euclidien.

1. Montrer que pour tous (u, v) ∈ E, on a l’égalité

2⟨u, v⟩ = ||u + v||^{2} − ||u||^{2} − ||v||^{2}.

2. En déduire que pour tous (u, v) ∈ E, on a l’égalité (dite égalité de la médiane) :

||u + v||^{2} + ||u − v||^{2} = 2 (||u||^{2} + ||v||^{2}) .

3. Montrer le théorème suivant :

Théorème de Pythagore : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si ||u + v||^{2} = ||u||^{2} + ||v||^{2}.