Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT232  groupe M4

Formes quadratiques

Exercice 1 [273] Déterminer, pour les formes quadratiques suivantes, les formes bilinéaires symétriques associées, et donner les matrices dans la base canonique.

– q_{1} : ℝ^{2} ⟶ ℝ définie par q_{1}(x, y) = 3x^{2} − 2xy + y^{2}.

– q_{2} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{2}(x, y, z) = 2xy − y^{2} + 5yz + 3z^{2}.

– q_{3} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{3}(x, y, z) = 3x^{2} − 6xy + 4xz − 8y^{2} + 5yz.

– q_{4} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{4}(x, y, z) = 2(x + y − z)^{2} − (y − 2z)^{2} − (2x + y)^{2}.

– q_{5} : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par q_{5}(x, y, z, t) = z^{2} − 3yt + xz + 3xt − 2xy + t^{2} − 2yz + 6tz − x^{2}.

Exercice 2 [274] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ l’application définie par

q(x, y, z) = 2x^{2} − z^{2} + 4xy pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}

1. Montrer que q est une forme quadratique et expliciter sa forme bilinéaire symétrique associée φ.

2. Ecrire la matrice M_{φ} de φ dans la base canonique.

3. Soient l_{1}, l_{2} et l_{3} les formes linéaires définies sur ℝ^{3} par

l_{1}(x, y, z) = x + y  l_{2}(x, y, z) = y  l_{3}(x, y, z) = z.

(a) Montrer que ces formes linéaires sont linéairement indépendantes.

(b) Montrer que pour tout (a, b, c) ∈ ℝ^{3} le système \{ \begin{matrix}l_{1}(x, y, z) = a \\ l_{2}(x, y, z) = b \\ l_{3}(x, y, z) = c \end{matrix} a une unique

solution.

(c) Exprimer la forme quadratique q à l’aide des carrés des formes linéaires l_{1}, l_{2} et l_{3}.

(d) Montrer qu’il existe une base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} telle que :

\{ \begin{matrix}l_{1}(u_{1}) = 1 \\ l_{2}(u_{1}) = 0 \\ l_{3}(u_{1}) = 0 \end{matrix}  \{ \begin{matrix}l_{1}(u_{2}) = 0 \\ l_{2}(u_{2}) = 1 \\ l_{3}(u_{2}) = 0 \end{matrix}  \{ \begin{matrix}l_{1}(u_{3}) = 0 \\ l_{2}(u_{3}) = 0 \\ l_{3}(u_{3}) = 1. \end{matrix}

Quelle est la matrice M′_{φ} de φ dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

(e) Déterminer une matrice P telle que M′_{φ} = ^{t}P M_{φ}P.

Exercice 3 [275] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par :

q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Décomposer la forme quadratique q en somme de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes.

2. Montrer que pour tout u ≠ 0 dans ℝ^{3} on a q(u) > 0.

3. Soit A la matrice de q dans la base canonique. Montrer qu’il existe une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que A = ^{t}P P.

Exercice 4 [276] Soit q la forme quadratique définie sur ℝ^{3} par

q(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} − xy − xz − yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Ecrire la matrice de q dans la base canonique.

2. Montrer que q est une forme quadratique dégénérée et trouver une base du noyau de q.

3. Trouver une base orthogonale pour q. Quelle est la matrice de q dans cette base ?

Exercice 5 [277] Soit a un nombre réel. Soit q : ℝ^{4} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z, t) = a(z^{2} − x^{2}) − y^{2} + 2axy + 6zt pour tout vecteur (x, y, z, t) ∈ ℝ^{4}.

1. Pour quelles valeurs de a la forme quadratique est-elle non dégénérée ?

2. On suppose que q est dégénérée. Trouver une base orthogonale pour q.

Exercice 6 [278] Soit a un nombre réel, et soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = a(x^{2} + y^{2} + z^{2}) − 2xy + 2xz + 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Pour quelles valeurs de a la forme quadratique est-elle non dégénérée ?

2. On suppose que a = 0. Soit D la droite de ℝ^{3} engendré par le vecteur v = (2, 2, 1). Trouver une base de D^{⊥}. Les sous-espaces vectoriels D et D^{⊥} sont-ils supplémentaires ?

3. Montrer que la forme quadratique q est définie positive si et seulement si a > 2.

4. On suppose que a = 4. Soit P le plan de ℝ^{3} d’équation 9x − y + 6z = 0. Trouver une base de P^{⊥}.

Exercice 7 [279] Soit a un nombre réel, et soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = a^{2}x^{2} + 4xy + xz + yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Déterminer la signature de q.

2. Soit q′ : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par q′(x, y, z) = x^{2} − y^{2} − z^{2}. Pour quelles valeurs de a existe-t-il une application linéaire f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} bijective telle que q = q′ ∘ f. Dans ce cas, expliciter f.

Exercice 8 [280] Posons A = ( \begin{matrix}5 & 4 & 3 \\ 4 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{matrix} ) et B = ( \begin{matrix}9 & 0 & −6 \\ 0 & 1 & 0 \\ −6 & 0 & 4 \end{matrix} ).

Montrer qu’il existe une matrice U de GL_{3}(ℝ) telle que B = ^{t}UAU.

Exercice 9 [281] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = 4x^{2} + 2y^{2} + z^{2} + 4xy − 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

Trouver le noyau, une base orthogonale, et écrire la matrice de q dans la base trouvée.

Exercice 10 [282] Calculer la signature des formes quadratiques suivantes :

– q_{1} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{1}(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} − 4xy − 4xz − 4yz

– q_{2} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{2}(x, y, z) = 2x^{2} + 3y^{2} − z^{2} − 8xz

– q_{3} : ℝ^{3} ⟶ ℝ définie par q_{3}(x, y, z) = x^{2} − 3y^{2} − 2xy + 4xz

– q_{4} : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par q_{4}(x, y, z, t) = xy + xz + xt + yz + yt + zt

– q_{5} : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par q_{5}(x, y, z, t) = xy + xz + xt − yz + yt + 2zt

Exercice 11 [283] Soient q_{1} et q_{2} les formes quadratiques définies sur ℝ^{2} par

q_{1}(x, y) = 3x^{2} + 2xy + y^{2} et q_{2}(x, y) = 7x^{2} + 6xy + 2y^{2} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

1. Montrer qu’il existe une base de ℝ^{2} qui est à la fois orthonormée pour q_{1} et orthogonale pour q_{2}.

Exercice 12 [284] Soit a un nombre réel. Calculer la signature des formes quadratiques suivantes :

– q_{1} : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par q_{1}(x, y, z, t) = x^{2} + y^{2} − at^{2} + 2axy + 4zt.

– q_{2} : ℝ^{4} ⟶ ℝ définie par q_{2}(x, y, z, t) = x^{2}+y^{2}+z^{2}−2t^{2}−2xy+2xz−2xt+2yz−4ayt.

Exercice 13 [285] Soit q la forme quadratique définie sur ℝ^{3} par

q(x, y, z) = x^{2} + 11y^{2} + 6z^{2} − 6xy + 2xz − 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Montrer que la forme quadratique q est définie positive.

2. Soit P le plan de ℝ^{3} d’équation z = 0.

(a) Montrer que ℝ^{3} = P ⊕ P^{⊥}.

(b) Quelle est la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P, c’est-à-dire de la projection sur P parallèlement à P^{⊥}?

Exercice 14 [286] Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 2xy − 2xz − yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

1. Montrer qu’il existe des sous-espaces vectoriels F et G de ℝ^{3} tels que q_{|F} est définie positive, q_{|G} est définie négative, et ℝ^{3} = F ⊕ G.

2. Trouver une base d’un tel sous-espace vectoriel F et d’un tel sous-espace vectoriel G.

3. Soit l la forme linéaire sur ℝ^{3} définie par l(x, y, z) = x + y + z. Montrer qu’il existe un unique vecteur v ∈ ℝ^{3} tel que l(u) = B(u, v) pour tout u ∈ ℝ^{3}, où B est la forme bilinéaire symétrique associée à q. Déterminer v.

Exercice 15 [287] Soit E un ℝ-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 2. Soient q une forme quadratique non dégénérée sur E et B sa forme bilinéaire symétrique associée. On suppose qu’il existe un vecteur u non nul de E tel que q(u) = 0.

1. Montrer qu’il existe un vecteur de E tel que B(u, v) = 1.

2. Soit v ∈ E tel que B(u, v) = 1. Montrer qu’il existe un nombre réel λ tel que l’on ait B(u, v + λu) = 1 et q(v + λu) = 0.

3. Soit v ∈ E tel que B(u, v) = 1 et q(v) = 0.

(a) Montrer que les vecteurs u et v sont linéairement indépendants.

(b) Soit P le plan de E engendré par u et v. Montrer que E = P ⊕ P^{⊥}.