Université Denis Diderot (Paris VII) 2000-2001 51MT232 groupe M4

Intégrales à paramètre

Exercice 1 [324] Soit f : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} cos(x sin t)dt

1. Montrer que la fonction f est de classe C^{1}. Pour tout nombre réel x, exprimer f′(x) comme intégrale à paramètre.

2. Montrer que la fonction f est de classe C^{2}.

3. Montrer que f est solution de l’équation différentielle xy′′ + y′ + xy = 0.

Exercice 2 [325] Soit f :]0, +∞[⟶ ℝ la fonction définie par

f(x) = ∫_{0}^{π/2} ln(x^{2}cos^{2}t + sin^{2}t)dt.

1. Montrer que la fonction f est de classe C^{1}.

2. Soit x > 0 tel que x ≠ 1. Calculer f′(x) à l’aide du changement de variable u = tan t.

3. En déduire une expression explicite de f(x) pour tout x > 0.

Exercice 3 [326] Soit f : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x) = ∫_{0}^{1} \frac{e^{−(t^{2}+1)x^{2}}}{1 + t^{2}} dt.

1. Montrer que la fonction f est de classe C^{1}.

2. Montrer qu’il existe a ∈ ℝ tel que f(x) = a − (∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}dt)^{2} pour tout x ∈ ℝ.

3. Montrer que l’on a lim_{x↦+∞} f(x) = 0. En déduire l’égalité ∫_{0}^{+∞} e^{−t^{2}}dt = \frac{\sqrt{π}}{2} ·

Exercice 4 [327] Soit f : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x) = ∫_{0}^{+∞} e^{−t^{2}} cos(tx)dt.

1. Montrer que la fonction f est de classe C^{1}.

2. Montrer que f est solution de l’équation différentielle y′ = −\frac{x}{2}y.

3. En déduire une expression explicite de f(x) pour tout x ∈ ℝ.

Exercice 5 [328]

1. Montrer que pour tout réel x on a lim_{t↦0} \frac{arctan(tx)}{t(1 + t^{2})} = x. En déduire que l’application φ :

ℝ × [0, +∞[⟶ ℝ, définie par φ(x, t) = \frac{arctan(tx)}{t(1 + t^{2})} pour t > 0 et φ(x, 0) = x est continue.

2. Montrer que l’intégrale ∫_{0}^{+∞} \frac{arctan(tx)}{t(1 + t^{2})}dt est convergente pour tout x réel. On note F (x) cette intégrale.

3. Montrer que la fonction F ainsi définie est impaire et continue.

4. Montrer que la fonction F est de classe C^{1}.

5. Calculer F′(x) pour x ≠ 1. On pourra utiliser la décomposition suivante :

\frac{1}{(1 + T)(1 + aT)} = \frac{1}{1 − a} (\frac{1}{1 + T} − \frac{a}{1 + aT} ).

6. Calculer F (0) et déduire de ce qui précède une expression explicite de la fonction F (on pourra faire le calcul d’abord pour x > 0).