Université Denis Diderot (Paris VII)  1999-2000
51MT231  groupe M2

Révisions d’algèbre linéaire

Exercice 1 [205] Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 & −2 \\ 4 & −1 & 2 \\ 8 & −4 & 5 \end{matrix} ) .

1. Calculer, pour tout λ ∈ ℝ, le déterminant de la matrice A − λI_{3}.

2. Pour quelles valeurs de λ ∈ ℝ l’endomorphisme f − λ id_{ℝ^{3}} est-il inversible ?

3. Trouver une base de ker(f − id_{ℝ^{3}}) et une base de ker(f + id_{ℝ^{3}}).

4. Montrer que ker(f − id_{ℝ^{3}}) et ker(f + id_{ℝ^{3}}) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de ℝ^{3}.

5. Ecrire la matrice de f dans une base adaptée à la décomposition

ℝ^{3} = ker(f − id_{ℝ^{3}}) ⊕ ker(f + id_{ℝ^{3}}).

6. Montrer que les sous-espaces vectoriels ker(f − id_{ℝ^{3}}) et im(f + id_{ℝ^{3}}) de ℝ^{3} sont supplémentaires.

Exercice 2 [206] Soit a ∈ ℂ. Soient E un ℂ-espace vectoriel de dimension 2, (e_{1}, e_{2}) une base de E et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base (e_{1}, e_{2}) est ( \begin{matrix}0 & a \\ 1 & 0 \end{matrix} ).

1. Soit λ ∈ ℂ. Quelle est la dimension de ker(f − λid_{E}) ?

2. On suppose que a ≠ 0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & −λ \end{matrix} ), où λ est un nombre complexe.

Exercice 3 [207] Soit a ∈ ℝ et A = ( \begin{matrix}0 & a \\ 1 & 0 \end{matrix} ).

1. A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur a existe-t-il un réel λ tel que la matrice A − λI_{2} n’est pas inversible ?

2. On suppose a < 0. Montrer qu’il existe une matrice P ∈ GL_{2}(ℝ) et un nombre b > 0 tels

que

P^{−1}AP = ( \begin{matrix}0 & −b \\ b & 0 \end{matrix} ) .