Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT231  groupe M4

Séries entières

Exercice 1 [249] Calculer le rayon de convergence des séries entières de terme général :

(1)\frac{z^{n}}{nπ^{n}}  (2)(log n)z^{n}  (3)\frac{n^{4}}{n!} z^{n}  (4)\frac{z^{n}}{2^{3n−2}}  (5)n^{k}z^{n} k ∈ ℤ

Exercice 2 [250] Considérons la série de fonctions de terme général u_{n}(x) = (cos \frac{nπ}{3} )x^{2n+1}.

1. Montrer que c’est une série entière et l’écrire sous la forme a_{n}x^{n}.

2. Montrer que son rayon de convergence R est non nul.

3. Soit f :]−R, R[→ ℝ la fonction définie par f(x) = ∑_{n=0}^{+∞}(cos \frac{nπ}{3} )x^{2n}. Calculer f(0), f′(0), f′′(0)

et f^{(3)}(0).

Exercice 3 [251] Soit deux séries entières de termes généraux a_{n}x^{n}, b_{n}x^{n} et de rayons de convergence respectifs R et S.

1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général a_{n}^{p}x^{n}, où p est un entier relatif fixé, est R^{p}.

2. On pose c_{2n} = a_{n} et c_{2n+1} = b_{n}. Quel est le rayon de convergence de la série entière de terme général c_{n}x^{n}?

3. Soit r < R un réel positif, montrer que n^{2}a_{n}r^{n} tend vers 0 quand n tend vers +∞. On pourra comparer cette suite à la suite a_{n}s^{n} où s ∈]r, R[.

4. En déduire le rayon de convergence de la série entière de terme général n^{2}a_{n}x^{n}.

Exercice 4 [252] Donner le rayon de convergence R des séries entières de terme général cidessous, et calculer leur somme dans l’intervalle ] − R, R[.

(1)n^{2}x^{n}  (2)\frac{n^{2} + 1}{n!}x^{n}  (3)(−1)^{n+1}n(n + 2)x^{n+2}  (4)\frac{x^{n}}{(2n)!}

Exercice 5 [253] Développer en série entière au point 0 les fonctions suivantes et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue :

(1)f_{1}(x) = log (\frac{1 + 2x^{2}}{1 − x^{2}} )  (2)f_{2}(x) = log(x + a) a > 0  (3)f_{3}(x) = \frac{1}{x^{2} − 2x + 2}

(4)f_{4}(x) = e^{x} cos x  (5)f_{5}(x) = (cos x)^{3}  (6)f_{6}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{arctan(t^{2})}{t}dt

Exercice 6 [254]

1. Soit x ∈ [−1, 1]. Montrer que la série de terme général \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)(2n − 1)}x^{2n+1} converge.

Soit f : [−1, 1] → ℝ la fonction définie par f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)(2n − 1)}x^{2n+1}.

2. Montrer que f est continue sur [−1, 1].

3. Calculer f(x) pour tout x ∈ [−1, 1]. En déduire la somme de la série de terme général

\frac{(−1)^{n}}{4n^{2} − 1}·

Exercice 7 [255] 1. Pour quelles valeurs de x ∈ ℝ la série de terme général \frac{x^{n}}{n^{2}} est-elle convergente ?

2. Soit f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{x^{n}}{n^{2}} , pour tout x ∈ [−1, 1]. Montrer que f est continue sur [−1, 1] et de

classe C^{1} sur ] − 1, 1[.

3. Calculer la dérivée de la fonction g définie par g(x) = f(x) + f(1 − x) + (log x) log(1 − x).

4. Démontrer la formule ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} = (log 2)^{2} + ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{2^{n−1}n^{2}} ·

Exercice 8 [256]

1. Montrer qu’il existe une fonction f continue sur ℝ telle que f(x) = \frac{\sqrt{1 + 2x^{2}} − 1}{x^{2}} pour tout x ≠ 0.

2. Montrer que f admet un développement en série entière au voisinage de 0, et déterminer le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue.

3. Calculer f(0), f′(0) et f′′(0).

Exercice 9 [257] Pour quelles valeurs de a ∈ ℝ existe-t-il une fonction f non nulle développable en série entière au point 0, telle que f′(x) = f(ax) ? Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.

Exercice 10 [258] Trouver toutes les fonctions développables en série entière au point 0 qui sont solutions de l’équation différentielle (1 + x^{2})y′′ − 2y = 0. Préciser le rayon de convergence des séries entières obtenues et expliciter leur somme.

Exercice 11 [259] Soit f : ℝ → ℝ la fonction définie par f(x) = e^{\frac{x^{2}}{2}} ∫_{0}^{x} e^{\frac{−t^{2}}{2}} dt.

1. Montrer que f est développable en série entière au point 0 et que le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue est infini.

2. Montrer que f est solution de l’équation différentielle y′ − xy = 1.

3. En déduire le développement en série entière au point 0 de f.

4. Démontrer l’égalité : ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{1 × 3 × ⋯ × (2n + 1)} = \sqrt{e} ∑_{n=0}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{2 × 4 × ⋯ × 2n × (2n + 1)}·