Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
MT231  groupe M4

Séries de fonctions

Exercice 1 [260] Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f_{n} : ℝ ⟶ ℝ en posant :

f_{n}(x) = \frac{cos(nx)}{n^{2} + x^{2}} pour tout x ∈ ℝ.

1. Montrer que la série de fonctions de terme général f_{n} est convergente sur ℝ.

2. Montrer que la somme f = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n} est une fonction continue sur ℝ.

3. Montrer que lim_{x↦+∞} f(x) = 0.

Exercice 2 [261] Pour tout n ≥ 1 et pour tout x ∈ ℝ, on pose

f_{n}(x) = \frac{1}{n} arctan \frac{x}{n}·

1. Soit a un réel strictement positif. Montrer que la série de fonctions de terme général f_{n} est normalement convergente sur l’intervalle [−a, a]. En déduire que la série de fonctions de terme général f_{n} est convergente sur ℝ.

2. Soit f : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n}(x).

(a) Montrer que la fonction f est continue sur ℝ.

(b) Montrer que la fonction f est dérivable sur ℝ.

Exercice 3 [262] Pour tout n ∈ ℕ, et pour tout x ∈ [0, +∞[, on pose

f_{n}(x) = nxe^{−nx}.

La série de fonctions de terme général f_{n} est-elle simplement convergente sur [0, +∞[ ? normalement convergente sur [0, +∞[ ? et sur [a, +∞[ avec a > 0 ?

Exercice 4 [263]

1. Montrer que pour tout x > 0 la série de fonctions de terme général \frac{1}{n(1 + nx)} est conver-

gente.

Définissons alors f :]0, +∞[→ ℝ par f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n(1 + nx)}·

2. Montrer que la fonction f est positive et décroissante. Calculer lim_{x→+∞} f(x).

3. Soit S_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1 + kx)}· Montrer que pour tout n ≥ 1 et pour tout x > 0, S_{n}(x) ≤ f(x).

4. Montrer que lim_{x↦0} f(x) = +∞.

Exercice 5 [264] Pour tout n > 0, posons f_{n}(x) = x^{2}e^{−nx} pour tout x ∈ ℝ.

Soit F_{n} la primitive de f_{n} qui s’annule en 0.

1. Montrer que la série de fonctions de terme général f_{n} converge normalement sur [0, +∞[.

On définit alors f : [0, +∞[⟶ ℝ par f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n}(x).

2. Soit x > 0. Montrer que la série de fonctions de terme général F_{n} est normalement conver-

gente sur le segment [0, x] et que ∑_{n=1}^{+∞} F_{n}(x) = ∫_{0}^{x} f(t)dt.

3. Pour tout x > 0 calculer F_{n}(x) à l’aide de deux intégrations par parties successives.

4. Montrer que la série de fonctions de terme général F_{n} est normalement convergente sur [0, +∞[.

5. Démontrer l’égalité ∫_{0}^{+∞} \frac{t^{2}}{e^{t} − 1}dt = 2 ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{3}} ·

Exercice 6 [265] Soit la fonction ζ :]1, +∞[⟶ ℝ définie par ζ(x) = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n}(x), où f_{n}(x) = \frac{1}{n^{x}} ·

1. Montrer que pour tout a > 1 la série de fonctions de terme général f_{n} est normalement convergente sur [a, +∞[. Est-elle normalement convergente sur ]1, +∞[ ?

2. Montrer que la fonction ζ est continue et décroissante. Calculer lim_{x↦+∞} ζ(x).

3. Démontrer que pour tout x > 1 on a 1 + \frac{1}{(x − 1)2^{x−1}} ≤ ζ(x) ≤ 1 + \frac{1}{x − 1}·

En déduire que lim_{x↦1}(x − 1)ζ(x) = 1.

4. Montrer que la fonction ζ est dérivable sur ]1, +∞[.

Exercice 7 [266] Pour tout n ≥ 1 et pour tout x ∈ ℝ, posons f_{n}(x) = \frac{(−1)^{n+1}}{n + x^{2}} ·

1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ la série de terme général f_{n}(x) est convergente.

Soit alors f : ℝ ⟶ ℝ la fonction définie par f(x) = ∑_{n=1}^{+∞} f_{n}(x).

2. Montrer que f est une fonction paire et strictement positive sur ℝ.

3. Soit a > 0. Montrer que la série de fonctions de terme général f′_{n} est normalement convergente sur [−a, a]. En déduire que f est dérivable sur ℝ, et que f est strictement décroissante sur ]0, +∞[.

4. Pour tout n ≥ 1 et pour tout x ∈ ℝ posons R_{n}(x) = ∑_{k=n+1}^{+∞} f_{k}(x).

Montrer que |R_{n}(x)| ≤ \frac{1}{n + 1}·

5. Montrer que lim_{x↦+∞} f(x) = 0.