Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT231  groupe M4

SERIES NUMERIQUES

Exercice 1 [226]

1. Soit a et b deux nombres réels. Calculer la limite de la suite (u_{n}) définie par la formule u_{n} = n − \sqrt{(n + a)(n + b)}.

2. On pose v_{n} = \frac{n^{log(n)}}{(log n)^{n}}. Quelle est la limite de la suite (u_{n}) ? de la suite (u_{n+1}/u_{n}) ?

3. Soit (v_{n}) la suite définie par v_{n} = log(n cosh(\frac{1}{n}) sin(\frac{1}{n})). Donner le développement asymptotique de v_{n} à l’ordre 1/n^{4}.

Exercice 2 [227] Pour tout n ∈ ℕ^{∗} on pose a_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k+1}}{k}.

1. Soit u_{n} = a_{2n} et v_{n} = a_{2n+1}. Montrer que les suites (u_{n}) et (v_{n}) sont adjacentes.

2. En déduire que la série de terme général \frac{(−1)^{n}}{n} converge.

Exercice 3 [228] Soit α un nombre réel. Pour tout entier strictement positif n, on pose

u_{n} = \frac{1}{n^{α}} v_{n} = \frac{1}{n^{α}} − \frac{1}{(n + 1)^{α}} et w_{n} = \frac{1}{n^{α}} − \frac{2}{(n + 1)^{α}} + \frac{1}{(n + 2)^{α}} ·

1. Quand la suite (u_{n}) est-elle convergente ?

2. Pour quelles valeurs de α la série de terme général v_{n} est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

3. Pour quelles valeurs de α la série de terme général w_{n} est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

Exercice 4 [229] 1. Montrer que 0, 99999 … = 1.

2. Trouver deux entiers positifs a et b tels que a/b = 4, 39393939 . . ..

Exercice 5 [230] Pour tout entier positif n, on pose u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{3n + 1} et v_{n} = \frac{3}{(6n + 1)(6n + 4)}·

1. Montrer que la série de terme général v_{n} est convergente.

2. Pour tout n ∈ ℕ, calculer u_{2n} + u_{2n+1}.

3. Montrer que la série de terme général u_{n} est convergente, et que ∑_{n=0}^{+∞} u_{n} = ∑_{n=0}^{+∞} v_{n}.

Exercice 6 [231] Pour quelles valeurs de a ∈ ℝ^{∗} la série de terme général \frac{ch(n)}{a^{n}} est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

Exercice 7 [232] Soit u_{n} une suite de nombres réels strictement positifs. Pour tout n ∈ ℕ, on

pose S_{n} = u_{0} + u_{1} + ⋯ + u_{n} et v_{n} = \frac{u_{n}}{S_{n}} ·

1. Montrer que si la série de terme général u_{n} est convergente, alors la série de terme général v_{n} est convergente.

2. Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a ∏_{i=1}^{n}(1 − v_{k}) = \frac{u_{0}}{S_{n}} ·

3. On suppose que la série de terme général v_{n} est convergente.

(a) Quelle est la nature de la série de terme général log(1 − v_{n}) ?

(b) Montrer que la série de terme général u_{n} est convergente.

Exercice 8 [233] Etudier la nature des séries dont voici le terme général :

(a)\frac{1}{n log n}  (b)1 − cos (\frac{1}{n})  (c)\frac{n^{log(n)}}{(log n)^{n}}  (d)\frac{1 + log(n)}{n^{2}}  (e)sin (\frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} )

(f)\frac{(−1)^{n+1}}{n^{a}(n + 1)}, a ∈ ℝ (g)(n^{6}+3)^{a}−(n^{2}+2)^{3a}, a ∈ ℝ (h)\frac{n^{α}}{(1 + a)(1 + a^{2}) ⋯ (1 + a^{n})}, a > 0, α ∈ ℝ

Exercice 9 [234] Soient a, b > 0. Pour tout n ∈ ℕ, posons u_{n} = \frac{a^{n}2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}} + b^{n}}.

1. Montrer que si a ≤ 1 on a lim \frac{b^{n}+2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}}} = 1, et que si a > 1 on a lim ^{\frac{b^{n}+2^{\sqrt{n}}}{b^{n}}} = 1.

2. Pour quelles valeurs de a et b la série de terme général u_{n} est-elle convergente ?

Exercice 10 [235] Pour tout n ∈ ℕ^{∗}, on pose u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} exp (\frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ) et v_{n} = u_{n} − \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ·

1. Montrer que la série de terme général v_{n} est divergente.

2. La série de terme général u_{n} est-elle convergente ?

Exercice 11 [236] Soit (u_{n})_{n>0} une suite de nombres complexes. Posons, pour tout n ∈ ℕ, v_{n} = u_{n} + u_{n+1} + ⋯ + u_{2n}.

1. On suppose que u_{n} = a^{n}, avec a ∈ ℂ.

(a) Montrer que les séries de terme général u_{n} et v_{n} sont de même nature.

(b) Si la série de terme général v_{n} est convergente, calculer sa somme.

2. On suppose que u_{n} = \frac{1}{n^{α}}, où α est un nombre réel. Montrer que la série de terme général v_{n} est convergente si et seulement si α > 2. On pourra démontrer et utiliser l’encadrement

∫_{n−1}^{n} \frac{dx}{x^{α}} ≤ u_{n} ≤ ∫_{n}^{n+1} \frac{dx}{x^{α}}.

Exercice 12 [237] Soit (u_{n})_{n>0} une suite de nombres réels. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? lesquelles sont fausses ? Justifier la réponse (c’est-à-dire démontrer l’énoncé s’il est vrai et trouver un contre-exemple s’il est faux).

1. Si pour tout n > 0 u_{n} > 0 et si la suite (u_{n}) est décroissante et a pour limite 0, alors la série de terme général u_{n} est convergente

2. Si pour tout n > 0 u_{n} > 0 et si la série de terme général u_{n} est convergente, alors la suite (u_{n}) est décroissante à partir d’un certain rang.

3. Si pour tout n > 0 u_{n} > 0 et si la série de terme général u_{n} est convergente, alors la série de terme général \sqrt{u_{n}} est convergente.

4. Si pour tout n > 0 u_{n} > 0 et si la série de terme général u_{n} est convergente, alors la série de terme général u_{n}^{2} est convergente.

5. Si lim_{n→+∞} ((−1)^{n}nu_{n}) = 1, alors la série de terme général u_{n} est convergente.

6. Si lim_{n→+∞} ((−1)^{n}n^{2}u_{n}) = 1, alors la série de terme général u_{n} est convergente.