Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT231  groupe M4

Quelques exercices sur les séries numériques

Exercice 1 [238] Déterminer la nature des séries suivantes :

(a) \frac{1}{C_{2n}^{n}}  (b) \frac{(−1)^{n}}{n − ln n}  (c) \sqrt{1 + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}} − 1  (d) (\frac{3n}{4n − 1})^{2n+1}
(e) ln (n cosh(\frac{1}{n}) sin(\frac{1}{n})) (f) k^{ln(n)} k ∈ ℝ_{+}^{∗}

Exercice 2 [239] Pour tout entier n ≥ 1, posons

u_{n} = \frac{1 × 3 × 5 × ⋯ × (2n − 1)}{2 × 4 × 6 × ⋯ × (2n)}·

1. Quelle est la limite de \frac{u_{n+1}}{u_{n}} ?

2. Montrer que la suite nu_{n} est croissante. En déduire que la série de terme général u_{n} est divergente.

Exercice 3 [240] On pose

u_{n} = ln |1 + \frac{i}{n}| + i arg (1 + \frac{i}{n}) ·

Déterminer la nature de la série de terme général u_{n}.

Exercice 4 [241] Déterminer la nature des séries suivantes :

(a) \frac{n2^{n}}{(2 + i)^{n}}  (b) n(n + 1)a^{n} a ∈ ℂ  (c) \frac{1}{n} (i^{2n} + \frac{i}{n})

Exercice 5 [242] Soit u_{0} un nombre réel strictement positif, et soit (u_{n}) la suite définie par

u_{n+1} = u_{n} − \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} pour tout n ≥ 0.

1. Montrer que l’on a 0 < u_{n+1} < u_{n} pour tout n.

2. Montrer que la série de terme général u_{n} − u_{n+1} est convergente.

3. Montrer que pour tout n, on a

\frac{u_{n}}{1 + u_{0}} ≤ \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} ·

En déduire que la série de terme général u_{n} est convergente.

Exercice 6 [243] Soit f : [1, +∞[⟶ ℝ une fonction décroissante et positive. Pour tout entier n ≥ 1, posons

u_{n} = f(n) − ∫_{n}^{n+1} f(t)dt.

1. Montrer que l’on a 0 ≤ u_{n} ≤ f(n) − f(n + 1) pour tout n. En déduire que la série de terme général u_{n} est convergente.

2. Montrer que la suite (1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) − ln n est convergente. En déduire que l’on a

lim_{n→+∞} \frac{(1 + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n})}{ln n} = 1.

Exercice 7 [244] Soient (u_{n}) et (v_{n}) deux suites positives. On pose w_{n} = max{u_{n}, v_{n}}. Montrer que la série de terme général w_{n} est convergente si et seulement si les séries de terme général u_{n} et v_{n} sont convergentes.

Exercice 8 [245] Déterminer la nature des séries suivantes (E(·) désigne la partie entière) :

(a) (n^{2} + 1)^{−n}  (b) \frac{E(\sqrt{n + 1}) − E(\sqrt{n})}{n^{α}}  (c) \frac{1! + 2! + ⋯ + n!}{(n + 2)!}

(d) \frac{2}{3} sin(n)\frac{chn}{ch(n + 1)}  (e) \frac{1}{\sqrt{n} + 2^{(−1)^{n}}n}  (f) \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{n}  (g) \frac{(−1)^{n}}{ln(n + (−1)^{n})}

Exercice 9 [246]

1. Montrer que l’intervalle [kπ + \frac{π}{4} , (k + 1)π − \frac{π}{4} ] contient au moins un entier. En déduire qu’on ne peut pas avoir (sin n)^{2} ≤ \frac{1}{2} pour trois entiers n consécutifs.

2. On pose u_{n} = \frac{(sin n)^{2}}{n}. Montrer que u_{3i} + u_{3i+1} + u_{3i+2} ≥ \frac{1}{6i+4} pour tout i ≥ 1. Quelle est la nature de la série de terme général u_{n}?

Exercice 10 [247] On pose

u_{n} = \frac{\sqrt{(n − 1)!}}{(1 + \sqrt{1})(1 + \sqrt{2}) ⋯ (1 + \sqrt{n})}

.

1. Montrer que l’on a u_{n+1} = u_{n}\sqrt{n} − u_{n+1}\sqrt{n + 1}.

2. En déduire que la série de terme général u_{n} converge. Quelle est sa somme ?

Exercice 11 [248] On pose u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}} .

1. Montrer que (|u_{n}|)_{n≥1} est décroissante.

2. Montrer que \sqrt[2p]{(2p)!} ≥ \sqrt{(p + 1)}.

3. En déduire que la série de terme général u_{n} est convergente.