Université Denis Diderot (Paris VII)  2000-2001
51MT231  groupe M4

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Dans tous ces exercices, on note les vecteurs de ℝ^{3} en colonnes.

Exercice 1 [267] Soit f_{a} l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est donnée par

M_{a} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 2a − 1 & 3 − 2a & 4a − 3 \\ 1 & −1 & 2a + 1 \end{matrix} ) .

1. Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme est-il diagonalisable ?

2. Supposons que a = 1.

(a) Trouver un vecteur u_{3} ∉ ker(f_{1} − id_{ℝ^{3}}). Montrer que u_{2} = (f_{1} − id_{ℝ^{3}})(u_{3}) ∈ ker(f_{1} − id_{ℝ^{3}}), et compléter u_{2} en une base (u_{1}, u_{2}) de ker(f_{1} − id_{ℝ^{3}}).

(b) Justifier que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est une base de ℝ^{3}, et donner la matrice de f_{1} dans cette base.

3. Supposons a = 0, et soit (u_{1}, u_{2}, u_{3}) une base de vecteurs propres de f_{0}. Soit w = u_{1}+u_{2}+u_{3}. SANS CALCULS, Montrer que (w, f(w), f^{2}(w)) est une base de ℝ^{3}, et donner la matrice de f dans cette base

Exercice 2 [268] Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 8x − 18y + 27z \\ y′ = & −3x + \frac{7}{2}y − 6z \\ z′ = & −4x + 7y − 11z. \end{matrix}

Exercice 3 [269] Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 12x − 10y + 5z \\ y′ = & 10x − 8y + 5z \\ z′ = & −10x + 10y − 3z. \end{matrix}

Exercice 4 [270] Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & x − 3y + 4z \\ y′ = & 4x − 7y + 8z \\ z′ = & 6x − 7y + 7z. \end{matrix}

Exercice 5 [271] 1. Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & −x + 2y + 3z \\ y′ = & 2x + 2y + 6z \\ z′ = & x + 2y + z. \end{matrix}

2. Considérons le système différentiel suivant :

(∗)  \{ \begin{matrix}x′ = & −x + 2y + 3z + 1 \\ y′ = & 2x + 2y + 6z − 6t − 1 \\ z′ = & x + 2y + z + 1. \end{matrix}

(a) Trouver deux vecteurs V et W de ℝ^{3} tels que la fonction S_{0} : ℝ ⟶ ℝ^{3} définie par

S_{0}(t) = tV + W pour tout t ∈ ℝ

est solution du système différentiel (∗).

(b) Résoudre le système différentiel (∗).

Exercice 6 [272] Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 7x − 4y + 2z \\ y′ = & 13x − 6y + 6z \\ z′ = & −3x + 2y. \end{matrix}