Université Denis Diderot (Paris VII) 2000-2001 51MT232

Topologie de ℝ^{n}

Exercice 1 [300] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique. On considère l’ensemble X de ℝ^{2} défini par X = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x > 0 ou y > 0}. Soit Y = ℝ^{2} \ X.

1. Dessiner X.

2. Soit (x_{0}, y_{0}) un point de X. Montrer qu’il existe une boule ouverte contenant (x_{0}, y_{0}) et contenue dans X.

3. X et Y sont-ils ouverts ? fermés ?

Exercice 2 [301] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique. On considère l’ensemble X de ℝ^{2} défini par X = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x + y ≥ 0}. Soit Y = ℝ^{2} \ X.

1. Dessiner X.

2. Soit u_{n} = (x_{n}, y_{n}) une suite d’éléments de X convergente dans ℝ^{2}. Montrer que la suite u_{n} converge dans X.

3. X et Y sont-ils ouverts ? fermés ?

Exercice 3 [302] Soit U un ouvert de ℝ^{n} et X ⊂ ℝ^{n} quelconque.

1. On note X + U = {x + u / x ∈ X, u ∈ U}. Montrer que X + U est ouvert.

2. Soit F et G deux fermés de ℝ^{n}, F + G est-il nécessairement fermé ?

3. On note C(U) = {λu / u ∈ U, λ > 0}. Montrer que C(U) est ouvert.

4. Montrer que C(U) = ℝ^{n} si et seulement si 0 ∈ U.

Exercice 4 [303] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique. Parmi les parties suivantes de ℝ^{2}, lesquelles sont ouvertes ? Lesquelles sont fermées ? Lesquelles sont bornées ?

(a) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/3x^{2} + 2y^{2} = 13}  (b) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x ≥ 1, y ≤ 2, x − y ≥ 0}
(c) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x^{2} − y^{2} > 0}  (d) {(cos t, sin t)/t ∈ ℝ}
(e) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(1, 0)} (f) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x^{2} ≤ 2}

(g) {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3} − (x^{2} + y^{2}) = 0}

Montrer que le dernier ensemble est encore fermé lorsqu’on lui enlève le point (0, 0).

Exercice 5 [304] Soit q : ℝ^{2} ⟶ ℝ l’application définie par q(x, y) = x^{2} − 2xy + 5y^{2}. 1. Montrer que q(u) ≥ 0 pour tout u ∈ ℝ^{2}.

2. Soit N : ℝ^{2} ⟶ ℝ l’application définie par N(u) = \sqrt{q(u)}. Montrer que N est une norme.

Exercice 6 [305] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique, et ℝ de la norme usuelle. Soit n un entier positif, et soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par :

f(x, y) = \frac{xy^{n}}{x^{2} + y^{2}} si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 0.

1. On suppose que n = 1. Montrer que la fonction f n’est pas continue.

2. On suppose que n > 1. Montrer que la fonction f est continue (on pourra vérifier et utiliser l’inégalité xy ≤ 1/2(x^{2} + y^{2})).

Exercice 7 [306] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique, et ℝ de la norme usuelle.

Soit f : ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} ⟶ ℝ la fonction définie par f(x, y) = \frac{xy^{2}}{x^{2} + y^{4}} ·. Existe-t-il une fonction continue g : ℝ^{2} ⟶ ℝ qui prolonge f ?

Exercice 8 [307] On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique. Soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} l’application définie par f(x, y) = (x + y^{2}, x + y).

1. Montrer que f est continue.

2. Montrer que f n’est pas injective.

3. Soit U = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/y > 1/2} et V = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x − y > −1/4}.

(a) Montrer que V = f(U).

(b) Soit g : U ⟶ V l’application définie par g(x, y) = f(x, y) pour tout (x, y) ∈ U. Montrer que l’application g est bijective.

(c) Soit h : V ⟶ ℝ^{2} l’application définie par h(x, y) = g^{−1}(x, y) pour tout (x, y) ∈ V. Montrer que l’application h est continue.

Exercice 9 [308] On munit M_{2}(ℝ) de la norme || ||_{∞}.

1. Soit Δ l’ensemble des matrices de M_{2}(ℝ) qui sont diagonalisables sur ℝ.

(a) Trouver une suite de matrices (A_{n}) telle que A_{n} ∈ Δ pour tout n et qui a pour limite la matrice ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

(b) Trouver une suite de matrices (B_{n}) telle que B_{n} ∈ M_{2}(ℝ), B_{n} ∉ Δ pour tout n et qui a pour limite la matrice I_{2}.

(c) La partie Δ est-elle ouverte ? Est-elle fermée ?

2. Soit J l’ensemble des matrices de M_{2}(ℝ) qui ont deux valeurs propres réelles distinctes.

(a) Soient a, b, c, d ∈ ℝ. A quelle condition la matrice ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) appartient-elle à J ?

(b) Montrer que J est une partie ouverte de M_{2}(ℝ).

3. Soit K l’ensemble des matrices de M_{2}(ℝ) qui ont 1 et 2 pour valeurs propres.

(a) Soient a, b, c, d quatre réels. Montrer que la matrice ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) appartient à K si et seulement si a + d = 3 et ad − bc = 2.

(b) Montrer que K est une partie fermée de M_{2}(ℝ).

(c) Est-ce que K est une partie compacte de M_{2}(ℝ) ?