Université Denis Diderot (Paris VII) 2001-2002 MT231

Devoir Surveillé n^{∘}1

Exercice 1 On pose, pour n ≥ 1 :

a_{n} = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}  b_{n} = (−1)^{n} \frac{1 + n}{8 + n^{2}}
c_{n} = (cos \frac{2}{\sqrt{n}})n ln n  d_{n} = \frac{(sin n)^{2}}{n}

e_{n} = \frac{\sqrt{(n − 1)!}}{(1 + \sqrt{1})(1 + \sqrt{2}) ⋯ (1 + \sqrt{n})}

1. Quelle est la nature de la série de terme général a_{n}?

2. La série de terme général b_{n} est-elle convergente ? absolument convergente ?

3. Quelle est la nature de la série de terme général c_{n}? (On pourra chercher un réel α tel que lim n^{α}c_{n} = 1.)

4. (a) Montrer que l’intervalle [kπ + \frac{π}{4} , (k +1)π − \frac{π}{4} ] contient au moins un entier. En déduire

qu’on ne peut pas avoir (sin n)^{2} < \frac{1}{2} pour trois entiers n consécutifs.

(b) Montrer que d_{3i} + d_{3i+1} + d_{3i+2} ≥ \frac{1}{6i+4} pour tout i ≥ 1.

(c) En déduire la nature de la série de terme général d_{n}.

5. (a) Montrer que e_{n+1} = e_{n}\sqrt{n} − e_{n+1}\sqrt{n + 1}.

(b) Montrer que la série de terme général ln(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}) diverge.

(c) En déduire que la série de terme général e_{n} converge. Quelle est sa somme ?

Exercice 2 Soit u_{n} le terme général d’une série réelle convergente. On pose v_{n} = nu_{n}.

1. La suite (u_{n}) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ? Montrer par un contre-exemple qu’on n’a pas nécessairement u_{n} = o(\frac{1}{n}).

2. On suppose que la suite (v_{n}) a une limite. Montrer que u_{n} = o(\frac{1}{n}).

3. On suppose maintenant que la suite (u_{n}) est décroissante et positive.

(a) Montrer que nu_{2n} ≤ u_{n+1} + u_{n+2} + ⋯ + u_{2n} + u_{2n+1}.

(b) En déduire que la suite (v_{2n}), puis (v_{2n+1}), tend vers 0.

(c) Montrer que u_{n} = o(\frac{1}{n}).

Exercice 3 Pour tout entier n ≥ 1 on définit une fonction f_{n} : ℝ_{+}^{∗} → ℝ par f_{n}(x) = \frac{e^{−nx}}{n}.

1. Montrer que la série de terme général f_{n}(x) converge pour tout x > 0. On note f(x) sa somme.

2. Soit a un réel strictement positif fixé. Montrer que la série de fonctions de terme général f′_{n} converge normalement sur [a, +∞[.

3. Montrer que la fonction f : ℝ_{+}^{∗} → ℝ définie au 1 est dérivable. Calculer sa dérivée.

4. Montrer que lim_{+∞} f = 0. En déduire la valeur de f(x) pour x > 0.