Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231

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À rendre en TD, au plus tard le 23 octobre

Exercice 1 Dans cet exercice, (a_{n})_{n≥0} est une suite réelle et, pour tout entier positif n, on note S_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}10^{−k} la somme partielle à l’ordre n de la série de terme général a_{n}10^{−n}. Si cette série est convergente, on note S sa somme : autrement dit, S = lim S_{n}.

1. On suppose que la suite (a_{n}) est constante : ∀ n ∈ ℕ a_{n} = a, pour un certain réel a. Montrer que la série de terme général a_{n}10^{−n} est convergente et calculer S.

2. On suppose que les a_{n} sont des entiers compris entre 0 et 9, pour tout n. Montrer que la série de terme général a_{n}10^{−n} est convergente et déterminer le développement décimal de S. Que se passe-t-il si a_{n} est égal à 9 pour tout n?

3. On suppose que la suite (a_{n}) est donnée par la récurrence suivante :

a_{0} = 1, a_{1} = 1, ∀ n ∈ ℕ a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}.

(a) Montrer qu’on a 0 ≤ a_{n} ≤ 2^{n} pour tout n. En déduire que la série de terme général a_{n}10^{−n} est convergente.

(b) Donner la valeur de S. On pourra démontrer et utiliser la formule suivante :

∀ n ∈ ℕ S_{n+2} − a_{0} − \frac{a_{1}}{10} = \frac{S_{n}}{100} + \frac{S_{n+1} − a_{0}}{10} .

4. On suppose que la suite (a_{n}) est donnée par les égalités a_{3k} = 2, a_{3k+1} = 1 et a_{3k+2} = 0, pour tout k ∈ ℕ.

(a) Calculer S_{3k+2} pour tout k.

(b) En déduire que la série de terme général a_{n}10^{−n} est convergente et calculer S.

5. On suppose que l’on a a_{n+3} = a_{n} pour tout n, et que a_{0}, a_{1}, a_{2} sont des entiers. (a) Montrer que la série de terme général a_{n}10^{−n} est convergente.

(b) Montrer qu’il existe un entier A tel que S = \frac{A}{999}.

Exercice 2 On définit les suites (a_{n})_{n≥2} et (u_{n})_{n≥1} en posant

a_{n} = \frac{\sqrt{(n − 1)!}}{(1 + \sqrt{1})(1 + \sqrt{2}) ⋯ (1 + \sqrt{n})} et u_{n} = Log (1 + \frac{1}{\sqrt{n}}).

1. Montrer que la série de terme général u_{n} est divergente.

2. Exprimer Log(\sqrt{n} a_{n}) en fonction des sommes partielles de la série de terme général u_{n}.

3. En déduire que la suite (\sqrt{n} a_{n})_{n} est convergente. Quelle est sa limite ?

4. Démontrer l’égalité a_{n+1} = \sqrt{n} a_{n} − \sqrt{n + 1} a_{n+1}, pour tout n ≥ 2.

5. En déduire que la série de terme général a_{n} est convergente et calculer sa somme.