MT231  Université Paris 7  2002-2003

DM3

Exercice 1 :

1. Pour chacune des matrices M suivantes

M = (\begin{matrix}4 & 6 \\ −1 & −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 0 & −3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & −2 & −3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) ,

(a) montrer que M est diagonalisable, et donner des matrices P, D telles que : i. D est une matrice diagonale. ii. P est inversible. iii. M = P DP^{−1}.

(b) Résoudre le système différentiel linéaire :

X′ = MX.

2. Montrer que chacune des matrices M suivantes n’est pas diagonalisable :

M = (\begin{matrix}−3 & −8 \\ 2 & 5 \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 & 3 & −3 \\ −2 & −2 & 3 \\ 0 & −1 & 4 \end{matrix}) .

Exercice 2 : Dans cette exercice, on étudie les matrices N ∈ M_{n}(ℝ) telles qu’il existe un entier naturel r vérifiant N^{r} = 0.

Dans ce cas, on dit que N est nilpotente.

1. Soit N une matrice nilpotente de taille n, et u l’endomorphisme de ℝ^{n} qui lui correspond dans la base canonique.

(a) Montrer que det(N) = 0.

En déduire qu’il existe un vecteur x ∈ ℝ^{n} non nul tel que u(x) = 0.

(b) En déduire qu’il existe une base de ℝ^{n} telle que la matrice de u dans cette base soit de la forme

( \begin{matrix}0 & ∗ \\ 0 ⋮ 0 & N′ \end{matrix}  )

où N′ est de taille n − 1.

(c) Montrer que la matrice N′ est nilpotente.

(d) En itérant le raisonnement précédent, montrer qu’il existe une base de ℝ^{n} telle que la matrice de u dans cette base soit de la forme :

(\begin{matrix}0 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix}) .

2. Soit N une matrice de taille n. Déduire de 1 l’équivalence des deux conditions suivantes : (a) N est nilpotente.

(b) N^{n} = 0.

3. Soit N une matrice de taille n, et χ_{N}(λ) son polynôme caractéristique.

(a) En utilisant 1) d), montrer que si N est nilpotente, χ_{N}(λ) = (−λ)^{n}.

(b) Reprenons les notations de 1. En utilisant le même raisonnement que dans le 1, montrer que si χ_{N}(λ) = (−λ)^{n}, il existe une base de ℝ^{n} telle que la matrice de u dans cette base soit de la forme

(\begin{matrix}0 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix}) .

En déduire l’équivalence des conditions suivantes :

i. N est nilpotente. ii. χ_{N}(λ) = (−λ)^{n}.