Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

Devoir surveillé n^{o}1

vendredi 18 octobre

Exercice 1 Questions de cours.

1. Pour quelles valeurs de α ∈ ℝ la série de terme général \frac{1}{n^{α}} converge-t-elle ?

2. Que peut-on dire d’une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées ?

3. Enoncer le critère de D’Alembert.

4. Enoncer le théorème des séries alternées.

Exercice 2 Déterminer la nature des séries (∑ a_{n}), (∑ b_{n}) et (∑ c_{n}) données par

a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}, b_{n} = ln (cos (2^{−n})), c_{n} = tan (\frac{(−1)^{n}}{ln n} ).

Exercice 3 Soit (u_{n})_{n≥0} une suite réelle. Pour tout entier n ≥ 0 on pose v_{n} = u_{2n} + u_{2n+1}. On appelle (S_{n}) la suite des sommes partielles de la série de terme général u_{n}, et (T_{n}) la suite des sommes partielles de la série de terme général v_{n}.

1. Démontrer l’égalité T_{n} = S_{2n+1}, pour tout n. En déduire que

(∑ u_{n}) converge ⟹ (∑ v_{n}) converge.  (1)

2. On suppose que u_{n} = (−1)^{n} pour tout n. Déterminer la nature des séries (∑ u_{n}) et (∑ v_{n}). La réciproque de l’implication (1) est-elle vraie en général ?

3. On suppose que la série de terme général v_{n} converge et que les u_{n} sont tous positifs. (a) Montrer que la suite (S_{2n+1}) est majorée.

(b) Montrer que S_{2n} ≤ S_{2n+1}, pour tout n.

(c) En déduire que la série de terme général u_{n} converge.

Barême et temps de travail indicatifs :

– Exercice 1 : 5 points, 10 minutes.

– Exercice 2 : 7,5 points, 30 minutes.

– Exercice 3 : 7,5 points, 30 minutes.