Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

Devoir surveillé n^{o}1 Corrigé

Exercice 2

1. La série (∑ a_{n}) est à termes positifs, appliquons le critère de Cauchy. On a \sqrt[n]{a_{n}} = ( \sqrt[n]{n})^{2}/2. Comme lim ln \sqrt[n]{n} = lim(ln n)/n = 0, on a lim \sqrt[n]{n} = 1 donc lim \sqrt[n]{a_{n}} = 1/2. D’après le critère de Cauchy, la série (∑ a_{n}) est convergente.

2. Au voisinage de 0 on a cos x = 1 − x^{2}/2 + o(x^{2}) et ln(1 + x) ∼ x, donc ln(cos x) ∼ −x^{2}/2. Comme 2^{−n} tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on en déduit que b_{n} est équivalent à b′_{n} = −2^{−2n}/2. En appliquant le théorème de comparaison à (∑ −b_{n}) et (∑ −b′_{n}), qui est à termes positifs, on voit que les séries (∑ b_{n}) et (∑ b′_{n}) sont de même nature. Or la deuxième est convergente car c’est un multiple de la série géométrique de raison 1/4 ∈ [0, 1[.

3. La fonction tangente étant impaire, on a c_{n} = (−1)^{n}c′_{n}, avec c′_{n} = tan(1/(ln n)). Pour n ≥ 3 on a ln n ≥ 1 donc 1/(ln n) ∈ [0, 1] ⊂ [0, π/2[. En particulier on a alors c′_{n} ≥ 0. De plus la suite (1/(ln n)) est décroissante, et la fonction tangente est croissante sur [0, π/2[, donc (c′_{n}) est décroissante dès que n ≥ 3. D’après le théorème des séries alternées, la série (∑ c_{n}) est donc convergente.

Exercice 3 1. Appliquons la définition des sommes partielles et la définition de v_{n} :

T_{n} = ∑_{k=0}^{n} v_{k} = ∑_{k=0}^{n}(u_{2k} + u_{2k+1}) = ∑_{k=0}^{n} u_{2k} + ∑_{k=0}^{n} u_{2k+1}.

On remarque alors que chaque terme u_{i}, avec i ∈ {0, 1, …, 2n + 1}, apparaît exactement une fois dans le membre de droite. On reconnaît donc bien S_{2n+1}. En particulier si (∑ u_{n}) converge, la suite (S_{n}) est convergente, donc sa sous-suite (S_{2n+1}) = (T_{n}) est également convergente, ce qui revient à dire que (∑ v_{n}) est convergente.

2. Lorsque u_{n} = (−1)^{n} pour tout n, la série (∑ u_{n}) est divergente car son terme général ne tend pas vers 0. Par ailleurs on a pour tout n ∈ ℕ :

v_{n} = u_{2n} + u_{2n+1} = (−1)^{2n} + (−1)^{2n+1} = 1 − 1 = 0.

En particulier les sommes partielles de la série (∑ v_{n}) sont toutes nulles, donc elle converge. Cela fournit donc un contre-exemple à l’implication réciproque de (1).

3. (a) Si la série (∑ v_{n}) converge, la suite (T_{n}) de ses sommes partielles converge et en

particulier elle est majorée. Or on a (T_{n}) = (S_{2n+1}) d’après la question 1.

(b) Comme les u_{n} sont positifs, on a S_{2n+1} = S_{2n} + u_{2n+1} ≥ S_{2n} pour tout n ∈ ℕ.

(c) Grâce à la question (a), introduisons un majorant M de la suite (S_{2n+1}). Pour tout n ∈ ℕ on a S_{2n+1} ≤ M. D’après la question (b), on a également S_{2n} ≤ M pour tout n ∈ ℕ. Ainsi la suite (S_{n}) est majorée par M. Comme la série (∑ u_{n}) est à termes positifs, cela suffit à montrer qu’elle est convergente.