Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

Devoir surveillé n^{o}2

mercredi 4 décembre

Exercice 1 Questions de cours.

1. Pour les fonctions suivantes, donner le développement en série entière en 0, et préciser sur quel intervalle il est valable :

– f : ℝ → ℝ, x ↦ cos x,

– g : ] − ∞, 1[→ ℝ, x ↦ ln(1 − x).

2. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie.

– Rappeler la définition des valeurs propres de f.

– Énoncer un critère de diagonalisabilité pour f.

Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−3 & 4 & 4 \\ −8 & 9 & 4 \\ 8 & −4 & 1 \end{matrix} ).

L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Trouver un vecteur propre de f associé à la valeur propre −3.

Exercice 3 Pour tout n ∈ ℕ^{∗} on pose u_{n} = \frac{1}{n^{2}} .

1. Calculer le rayon de convergence R de la série entière (∑ u_{n}x^{n}).

On pose f(x) = ∑_{n=1}^{∞} u_{n}x^{n} pour x ∈] − R, R[.

2. Montrer que f′ est dérivable sur ] − R, R[ et donner une expression simple de xf′(x).

3. À l’aide de la question précédente, montrer qu’il existe une constante K telle que

f(x) + f(1 − x) + ln(x) ln(1 − x) = K pour tout x dans ]0, 1[.  (E)

4. Montrer que la formule f(x) = ∑_{n=1}^{∞} u_{n}x^{n} définit une fonction f continue sur [0, 1].

5. En déduire que dans l’égalité (E) on a K = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} (ce qui vaut \frac{π^{2}}{6} ).

Barême et temps de travail indicatifs :

– Exercice 1 : 5 points, 10 minutes.

– Exercice 2 : 7,5 points, 30 minutes.

– Exercice 3 : 7,5 points, 30 minutes.