Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

DIAGONALISATION, TRIGONALISATION

Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}3 & 3 & −5 \\ 2 & 4 & −5 \\ 2 & 3 & −4 \end{matrix} ).

1. Montrer que 1 est valeur propre de f.

2. Notons P le sous-espace propre de ℝ^{3} pour la valeur propre 1.

(a) Quelle est la dimension de P ?

(b) Trouver une équation de P.

3. Considérons les vecteurs u_{1} = (3, −2, 0), u_{2} = (1, 1, 1) et u_{3} = (−1, 1, 0) de ℝ^{3}. (a) Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}).

4. Calculer le polynôme caractéristique de f.

5. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}12 & 11 & 5 \\ −10 & −9 & −4 \\ −6 & −6 & −3 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de f.

2. Montrer qu’il existe une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

3. Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}) une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f. Posons v = e_{1} + e_{2} + e_{3}. Montrer que (v, f(v), f^{2}(v)) est une base de ℝ^{3}. Ecrire la matrice de f dans cette base.

4. Quel est le rang de f ?

5. Trouver une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que P^{−1}AP est diagonale.

Exercice 3 Soit f l’endomorphisme de ℂ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}4 & −5 & 7 \\ 1 & −4 & 9 \\ −4 & 0 & 5 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de f.

2. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable sur ℂ.

Exercice 4 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}0 & 5 & −2 \\ 0 & −7 & 3 \\ −1 & −16 & 7 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de f et dresser son tableau de variation.

2. Montrer que f est diagonalisable sur ℝ.

Exercice 5 Soit m un nombre réel. Notons f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−1 & m + 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & −m − 1 & 2 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de f.

2. On suppose m ≠ 2 et m ≠ −1. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

3. On suppose m = 2.

(a) Quelles sont les valeurs propres de f ?

(b) Montrer que l’endomorphisme f n’est pas diagonalisable.

4. On suppose m = −1.

(a) Quelles sont les valeurs propres de f ?

(b) Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

(c) Trouver une base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

(d) Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

Exercice 6 Soit a ∈ ℝ. Posons A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 1 − a \\ −1 & 1 & a − 1 \\ a − 1 & 0 & 2a \end{matrix} ).

1. Montrer que 1 est valeur propre de A.

2. Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer que A est diagonalisable sur ℝ si et seulement si a = 1.

Exercice 7 Soit E un ℂ-espace vectoriel de dimension 4. Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}) une base de ℂ. On note f l’endomorphisme de E dont la matrice dans cette base est

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ).

1. Calculer les valeurs propres de f.

2. Montrer qu’il existe une base de E formée de vecteurs propres de f, et écrire la matrice de f dans cette base.

3. Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −4 & 4 & 0 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer que f est trigonalisable sur ℝ.

2. L’endomorphisme f est-il diagonalisable sur ℝ?

3. Trouver une base de ℝ^{3} dans laquelle f est triangulaire supérieure.

4. Calculer (A − 2I_{3})^{2}. En déduire la valeur de A^{n} pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 9 Soient a un nombre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{4} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 3a \\ 2 & 0 & −2 & −2 \\ −2 & 1 & 2 & 3a \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

1. Calculer le polynôme caractéristique de f. Montrer que 1 est valeur propre de f.

2. On suppose que a ≠ 1.

(a) Montrer que f est trigonalisable sur ℝ si et seulement si a > 1.

(b) Lorsque a > 1, l’endomorphisme f est-il diagonalisable sur ℝ?

3. On suppose que a = 1.

(a) Trouver une base de chaque sous-espace propre.

(b) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

(c) Trouver une base de ℝ^{4} dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.

(d) Calculer A^{n}, pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 10 Soit f un endomorphisme de ℝ^{3} ayant les deux propriétés suivantes : – la seule valeur propre de f est 1,

– le sous-espace propre P = E_{1}(f) est de dimension 2.

1. Soit u un vecteur quelconque de P. Que vaut f(u) ?

2. Soit (u_{1}, u_{2}) une base de P et u_{3} un vecteur de ℝ^{3} n’appartenant pas à P. (a) Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est une base de ℝ^{3}.

(b) Montrer que la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est de la forme

( \begin{matrix}1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \end{matrix} ), où a, b, c sont des nombres réels.

(c) Exprimer le polynôme caractéristique de f à l’aide de c. En déduire que c = 1.

3. Montrer que l’endomorphisme f n’est pas diagonalisable.

4. Soit v_{3} un vecteur n’appartenant pas à P.

(a) Montrer que le vecteur v_{2} est non nul et appartient à P.

(b) Montrer qu’il existe un vecteur v_{1} ∈ P tel que (v_{1}, v_{2}, v_{3}) soit une base de ℝ^{3}.

(c) Quelle est la matrice de f dans la base (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ?

Exercice 11 Soit n un entier positif, et soit E le ℝ-espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n.

1. Soit P un élément de E. Montrer que (X^{2} − 1)P′′ + (2X + 1)P′ ∈ E.

2. Soit f l’application de E définie par f(P) = (X^{2} − 1)P′′ + (2X + 1)P′.

(a) Montrer que f est un endomorphisme de E, et écrire sa matrice dans la base (1, X, ⋯, X^{n}).

(b) Déterminer les valeurs propres de f.

Exercice 12 Considérons la matrice A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & \frac{3}{2} \end{matrix} ) de M_{2}(ℝ).

1. Montrer que la matrice A est diagonalisable sur ℝ.

2. Trouver une matrice inversible P ∈ M_{2}(ℝ) telle que la matrice P^{−1}AP est diagonale.

3. Calculer A^{n} pour tout entier naturel n.

4. Soit E le ℝ-espace vectoriel des suites (u_{n}) à termes réels telles que

∀ n ∈ ℕ u_{n+2} = u_{n} + \frac{3}{2} u_{n+1}.

(a) Soit (u_{n}) une suite à termes réels. Pour tout n ∈ ℕ, posons X_{n} = ({u_{n} \atop u_{n+1}} ). Montrer que (u_{n}) appartient à E si et seulement si X_{n+1} = AX_{n} pour tout n.

(b) Quelle est la dimension de E? Trouver une base de E.

(c) Soit F le sous-espace vectoriel de E formé des suites (u_{n}) ∈ E telles que la série (∑ u_{n}) est convergente. Quelle est la dimension de F ?

Exercice 13 Soit a ∈ ℝ. On pose A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −a & 1 + a \end{matrix} ). On note E le ℝ-espace vectoriel des suites (u_{n}) de nombres réels telles que

u_{n+2} = (1 + a)u_{n+1} − au_{n} pour tout n ∈ ℕ

1. Montrer que la matrice A est trigonalisable sur ℝ.

2. Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle diagonalisable sur ℝ?

3. Calculer A^{n}, pour tout n ∈ ℕ. Pour quelles valeurs de a les suites des coefficients de la matrice A^{n} sont-elles bornées ? convergentes ?

4. Trouver une base du sous-espace vectoriel F des suites bornées de E.

Exercice 14 Soit A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 3 & −4 & 12 \\ 1 & −2 & 5 \end{matrix} ). Cherchons les matrices B ∈ M_{3}(ℂ) telles que B^{3} = A.

1. Déterminer les valeurs propres de A et une matrice P telle que P^{−1}AP soit diagonale.

2. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont M est la matrice dans la base canonique, et g ∈ L(ℝ^{3}) tel que g^{3} = f. Montrer que g∘f = f ∘g. En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi des vecteurs propres pour g. Quelles possibilités a-t-on pour les valeurs propres associées ?

3. Résoudre l’équation B^{3} = A dans M_{n}(ℂ). Calculer la somme et le produit des solutions.