Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

ALGÈBRE LINÉAIRE

Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 & −2 \\ 4 & −1 & 2 \\ 8 & −4 & 5 \end{matrix} ).

1. Calculer, pour tout λ ∈ ℝ, le déterminant de la matrice A − λI_{3}.

2. Pour quelles valeurs de λ ∈ ℝ l’endomorphisme f − λid est-il inversible ?

3. Trouver une base de Ker(f − id) et une base de Ker(f + id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de ℝ^{3}.

4. Quelle est la dimension de Im(f + id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer que ℝ^{3} = Ker(f + id) ⊕ Im(f + id).

5. Ecrire la matrice de f dans une base adaptée à la décomposition ℝ^{3} = Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id).

Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par la formule :

∀ x, y, z ∈ ℝ f(x, y, z) = (2y + z, x − y − z, 2x − z).

1. Écrire la matrice A de f dans la base canonique de ℝ^{3}. Calculer le déterminant de A. Quel est le rang de f ?

2. On pose u = (−1, 2, 2), v = (2, 0, −2) et w = (1, −1, −2). Montrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3}. Écrire la matrice B de f dans cette base.

3. Donner une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que P^{−1}AP = B.

Calculer P^{−1} et vérifier la formule P^{−1}AP = B.

Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

ALGÈBRE LINÉAIRE

Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 & −2 \\ 4 & −1 & 2 \\ 8 & −4 & 5 \end{matrix} ).

1. Calculer, pour tout λ ∈ ℝ, le déterminant de la matrice A − λI_{3}.

2. Pour quelles valeurs de λ ∈ ℝ l’endomorphisme f − λid est-il inversible ?

3. Trouver une base de Ker(f − id) et une base de Ker(f + id). Quelles sont les dimensions de ces sous-espaces ? Montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de ℝ^{3}.

4. Quelle est la dimension de Im(f + id) ? Donner une base de ce sous-espace et montrer que ℝ^{3} = Ker(f + id) ⊕ Im(f + id).

5. Ecrire la matrice de f dans une base adaptée à la décomposition ℝ^{3} = Ker(f − id) ⊕ Ker(f + id).

Exercice 2 Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} défini par la formule :

∀ x, y, z ∈ ℝ f(x, y, z) = (2y + z, x − y − z, 2x − z).

1. Écrire la matrice A de f dans la base canonique de ℝ^{3}. Calculer le déterminant de A. Quel est le rang de f ?

2. On pose u = (−1, 2, 2), v = (2, 0, −2) et w = (1, −1, −2). Montrer que (u, v, w) est une base de ℝ^{3}. Écrire la matrice B de f dans cette base.

3. Donner une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que P^{−1}AP = B.

Calculer P^{−1} et vérifier la formule P^{−1}AP = B.