Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

SERIES ENTIERES

Exercice 1 Calculer le rayon de convergence des séries entières de terme général :

(1) \frac{z^{n}}{nπ^{n}}  (2) (log n)z^{n}  (3) \frac{n^{n}}{n!} z^{n}  (4) \frac{z^{n}}{2^{3n−2}}  (5) \frac{3n^{2} − n − 1}{n^{2} + 5n + 1}z^{n}.

Exercice 2 Soit (a_{n}) et (b_{n}) deux suites réelles. On note R et S les rayons de convergence respectifs des séries entières de termes généraux a_{n}x^{n} et b_{n}x^{n}.

1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général a_{n}^{p}x^{n}, où p est un entier relatif fixé, est R^{p}.

2. Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général a_{n}x^{pn}, où p est un entier strictement positif fixé, est R^{1/p}.

3. On pose c_{2n} = a_{n} et c_{2n+1} = b_{n}. Quel est le rayon de convergence de la série entière de terme général c_{n}x^{n}?

Exercice 3

1. Pour tout n ∈ ℕ on pose a_{n} = n(−2)^{n} et b_{n} = (−2)^{n}.

(a) Montrer que les séries entières de terme général a_{n}x^{n} et b_{n}x^{n} ont le même rayon de convergence R, le calculer.

(b) Donner une expression simple de g(x) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n}, pour tout x ∈] − R, R[.

(c) Pour tout x ∈] − R, R[ on pose f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}.

Ecrire sous forme de série entière la primitive de (f + g) nulle en 0, notée h.

(d) Montrer que h(x) = xg(x) pour tout x ∈] − R, R[.

(e) En déduire une expression de f sous forme de fraction rationnelle.

(f) Calculer f(0), f′(0), f′′(0), f^{(8)}(0).

2. Calculer le rayon de convergence R des séries entières dont le terme général est donné ci-dessous. En utilisant les mêmes idées qu’à la question 1, calculer leur somme.

(a) n^{2}x^{n}  (b) \frac{n^{2} + 1}{n!}x^{n}  (c) \frac{x^{n}}{(2n)!}  (d) \frac{(−1)^{n}}{n(n − 1)}x^{n}.

Exercice 4 Développer en série entière au voisinage de 0 les fonctions suivantes, et préciser les rayons de convergence correspondants :

f_{1}(x) = log (\frac{1 + 2x^{2}}{1 − x^{2}} ), f_{2}(x) = log(x + a), f_{3}(x) = \frac{1}{x^{2} − 2x + 2},
f_{4}(x) = e^{x} cos x,  f_{5}(x) = (cos x)^{3},  f_{6}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{arctan(t^{2})}{t} dt.

Exercice 5 Pour tout n ∈ ℕ^{∗} et tout x ∈ ℝ on pose f_{n}(x) = \frac{x^{n+1}}{n(n + 1)}.

1. Calculer le rayon de convergence R de la série entière (∑ f_{n}).

2. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) converge normalement sur [−R, R].

3. Pour tout x ∈ [−R, R], posons f(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x).

Donner une expression simple de f′(x), puis de f(x), pour x ∈] − R, R[.

4. Démontrer l’égalité

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n(n + 1)} = 2 log 2 − 1.

Exercice 6 Pour tout x ≠ 1, posons f(x) = \frac{e^{x}}{1 − x}.

1. Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0.

On note f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} ce développement et R le rayon de convergence de (∑ a_{n}x^{n}).

2. En calculant un produit de séries, montrer que a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}.

3. Montrer que R ≥ 1 et que f(x) = ∑ a_{n}x^{n} pour tout x ∈] − 1, 1[.

4. En raisonnant par l’absurde, montrer que R = 1.

Exercice 7 Montrer qu’il existe une unique fonction f, développable en série entière, telle que f(0) = 1, et solution de l’équation différentielle

xy′′ + 2y′ + xy = 0.

Quel est l’intervalle de définition de f ? Calculer f sur cet intervalle.

Exercice 8 Soit f et g les fonctions de ℝ dans ℝ définies par

f(x) = e^{\frac{x^{2}}{2}} ∫_{0}^{x} e^{− \frac{t^{2}}{2}} dt et g(x) = e^{− \frac{x^{2}}{2}} .

1. Montrer que f est développable en série entière en 0 et que le rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue est infini.

2. Montrer que f est solution de l’équation différentielle y′ − xy = 1. En déduire le développement en série entière de f en 0.

3. Développer g en série entière sur ℝ. En déduire une expression de ∫_{0}^{1} g(t) dt sous forme de somme d’une série numérique.

4. En écrivant f(1) de deux manières, démontrer l’égalité :

∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{1 × 3 × ⋯ × (2n + 1)} = \sqrt{e} ∑_{n=0}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{2 × 4 × ⋯ × 2n × (2n + 1)}.