Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

SÉRIES DE FONCTIONS

Exercice 1 Pour tout x ∈ ℝ_{+} et tout n ∈ ℕ^{∗} on pose f_{n}(x) = \frac{xe^{−n^{2}x}}{1 + n^{2}x}.

1. On fixe x ∈ ℝ_{+}. Montrer que la série de terme général f_{n}(x) est convergente. On dit que la série de fonctions (∑ f_{n}) est simplement convergente sur ℝ_{+}.

2. On fixe n ∈ ℕ^{∗}. On pose u_{n} = Sup \{|f_{n}(x)|, x ∈ ℝ_{+}\} et x_{0} = (−1 + \sqrt{5})/2. (a) Montrer que f_{n} atteint la valeur u_{n} en l’unique point x_{0}/n^{2}.

(b) En déduire une expression simple de u_{n} en fonction de x_{0} et n.

3. Montrer que la série de terme général u_{n} converge. On dit que la série de fonction (∑ f_{n}) est normalement convergente sur ℝ_{+}.

4. On fixe n ∈ ℕ^{∗}. Démontrer la majoration suivante, en remarquant que 1 + n^{2}x ≥ n^{2}x :

∀ n ∈ ℕ^{∗} ∀ x ∈ ℝ_{+} |f_{n}(x)| ≤ \frac{1}{n^{2}} .  (1)

5. Quelle est la nature de la série de terme général 1/n^{2} ? La majoration (1) suffit donc à montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est normalement convergente : c’est une démonstration plus simple que celle de la question 2.

6. On pose, pour tout x ∈ ℝ_{+} : f(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x). Montrer que la fonction f ainsi définie est continue sur ℝ_{+}.

Exercice 2 Pour tout x ∈ ℝ_{+} et tout n ∈ ℕ on pose f_{n}(x) = nxe^{−nx}.

1. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est simplement convergente sur ℝ_{+}.

2. On fixe n ∈ ℕ et on pose u_{n} = Sup {|f_{n}(x)|, x ∈ ℝ_{+}}. Calculer u_{n}.

3. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) n’est pas normalement convergente sur ℝ_{+}.

4. Soit ε un réel strictement positif. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est normalement convergente sur [ε, +∞[.

Exercice 3 Pour tout n ≥ 1 et pour tout x ∈ ℝ_{+}, on pose f_{n}(x) = \frac{1}{n(1 + nx)}.

1. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est simplement convergente sur ℝ_{+}^{∗}. Est-elle convergente en 0 ? Pour x > 0, on pose f(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x).

2. On fixe un réel strictement positif ε. Soit h : ℝ_{+}^{∗} → ℝ la fonction inverse : h(x) = 1/x. – Montrer que la fonction h est bornée sur [ε, +∞[.

– Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est normalement convergente sur [ε, +∞[.

– Montrer que la fonction f est continue sur [ε, +∞[.

3. Peut-on déduire de la question précédente les assertions suivantes ? Justifier votre réponse. – La fonction h est bornée sur ]0, +∞[.

– la série de fonction (∑ f_{n}) est normalement convergente sur ]0, +∞[.

– La fonction f est continue sur ]0, +∞[. On dit que les propriétés « être bornée » ou « être normalement convergente » sont des propriétés globales, tandis que la propriété « être continue » est locale. La propriété « être dérivable » est également locale.

Exercice 4 Pour tout n ≥ 1 et pour tout x ∈ ℝ, on pose f_{n}(x) = \frac{1}{n} arctan(\frac{x}{n}).

1. Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) est simplement convergente sur ℝ. Est-elle normalement convergente sur ℝ? On appelle f la fonction somme de la série (∑ f_{n}).

2. Soit a un réel strictement positif. Montrer que la série de fonction (∑ f_{n}) est normalement convergente sur l’intervalle [−a, a].

3. En déduire que f est continue sur ℝ.

4. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ et que lim_{x→+∞} f′_{n}(x) = 0.

Exercice 5 Pour tout entier n ≥ 1 et tout x ∈ ℝ, posons

f_{n}(x) = x^{2}e^{−nx} et F_{n}(x) = ∫_{0}^{x} f_{n}(t) dt.

1. Etude de la série de fonctions (∑ f_{n}).

(a) Montrer que la série de fonctions (∑ f_{n}) converge normalement sur ℝ_{+}. On pose f(t) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(t) pour tout t ∈ ℝ_{+}.

(b) Montrer que f est continue sur ℝ_{+}.

(c) Calculer f(t) pour tout t ∈ ℝ_{+}.

2. Etude de la série de fonctions (∑ F_{n}).

(a) Soit x ∈ ℝ_{+}^{∗}. A l’aide de deux intégrations par parties, calculer F_{n}(x).

(b) Montrer que la série de fonctions (∑ F_{n}) est normalement convergente sur ℝ_{+}. On pose F (x) = ∑_{n=1}^{∞} F_{n}(x) pour tout x ∈ ℝ_{+}.

(c) Exprimer lim_{x→+∞} F (x) sous forme d’une somme de série.

3. Montrer que F (x) = ∫_{0}^{x} f(t) dt, pour tout x ∈ ℝ_{+}.

4. En déduire l’identité suivante :

∫_{0}^{∞} \frac{t^{2}}{e^{t} − 1} dt = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{3}} .

Exercice 6 On reprend les fonctions f_{n}(x) de l’exercice 3, définies sur ℝ_{+}. On note f la fonction somme de la série (∑ f_{n}), définie sur ℝ_{+}^{∗}. Rappelons que la série de fonctions (∑ f_{n}) n’est pas normalement convergente sur ℝ_{+}^{∗}. On souhaite néanmoins calculer la limite de f en 0. On pose

S_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(1 + kx)} et H_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} pour n ∈ ℕ^{∗}, x ∈ ℝ_{+}.

1. Montrer que f est positive et décroissante.

2. Montrer que pour tous n ∈ ℕ^{∗}, x ∈ ℝ_{+}^{∗} on a S_{n}(x) ≤ f(x).

3. Montrer qu’on a S_{n}(\frac{1}{n}) ≥ \frac{1}{2} H_{n}, pour tout n ∈ ℕ^{∗}.

4. Quelle est la limite de la suite (H_{n}) ? En déduire que lim_{n→∞} f(\frac{1}{n}) = +∞.

5. Montrer que lim_{x→0} f(x) = +∞, en utilisant les questions 1 et 4.