Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

SERIES NUMERIQUES

Exercices d’entraînement

Exercice 1 [ facile ] Déterminer la nature des séries dont voici le terme général :

(a) \frac{n + ln n}{n^{2} + 1}  (b) e^{−\sqrt{n}}  (c) (\frac{3n}{4n − 1})^{2n+1}  (d) \frac{(−1)^{n}}{n − ln n}

(e) \frac{(n!)^{3}}{(3n)!}  (f) n^{2} sin(2^{−n})  (g) \frac{n2^{n}}{(2 + i)^{n}}  (h) \frac{n + 3}{(−1)^{n}\sqrt{n} − 3n}

Exercice 2 [ facile ]

1. On pose a_{n} = \frac{1}{n^{2} − 1/4} et u_{n} = \frac{1}{n + 1/2}, pour tout entier strictement positif n.

(a) Montrer que a_{n} = u_{n−1} − u_{n}.

(b) En déduire que la série de terme général a_{n} converge et donner sa somme.

2. On pose b_{n} = Log (1 − \frac{1}{n^{2}} ) pour n > 1.

Montrer que la série de terme général b_{n} converge et calculer ∑_{n=2}^{∞} b_{n}.

(On utilisera la même méthode qu’à la question 1.)

Exercice 3 [ facile ] Soit (u_{n})_{n≥0} et (v_{n})_{n≥0} deux suites de nombres réels positifs. Pour tout n ∈ ℕ, on pose w_{n} = max(u_{n}, v_{n}).

1. Montrer qu’on a pour tout n ∈ ℕ les inégalités suivantes :

u_{n} ≤ w_{n} ≤ u_{n} + v_{n} et v_{n} ≤ w_{n} ≤ u_{n} + v_{n}.

2. Montrer que la série de terme général w_{n} converge si et seulement si les séries de terme général u_{n} et v_{n} convergent toutes les deux.

Exercice 4 [ moyen ]

1. Soit (u_{n})_{n≥2} la suite définie par u_{n} = Log (1 + \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ).

(a) Donner un équivalent de u_{n}. Que peut-on en conclure pour la convergence de la série de terme général u_{n}?

(b) On pose a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}. Quelle est la nature de la série de terme général a_{n}?

(c) Etudier la nature de la série de terme général u_{n} − a_{n}.

(d) Montrer que la série de terme général u_{n} est divergente.

2. Soit (v_{n}) la suite définie par v_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n + (−1)^{n}}}.

(a) La série de terme général v_{n} est-elle absolument convergente ?

(b) Montrer que la série de terme général v_{n} est convergente. (On utilisera la même méthode qu’à la question 1.)

Exercice 5 [ moyen ] Soit u_{0} ∈ ℝ_{+}^{∗}, et soit (u_{n}) la suite définie par

u_{n+1} = u_{n} − \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} pour tout n ≥ 0.  (1)

1. Montrer que l’on a 0 < u_{n+1} < u_{n} pour tout n. La suite (u_{n}) a-t-elle une limite ?

2. Montrer que la série de terme général u_{n+1} − u_{n} est convergente.

3. Montrer que la suite (\frac{u_{n+1}}{u_{n}}) a une limite, en utilisant l’équation de récurrence (1).

4. Démonter pour tout n l’inégalité

u_{n} − \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} ≤ u_{n} − \frac{u_{n}}{1 + u_{0}} .

5. En déduire que la limite de (\frac{u_{n+1}}{u_{n}}) est strictement inférieure à 1.

6. Quelle est la nature de la série de terme général u_{n}?

Exercice 6 [ difficile ] Soit u_{n} le terme général d’une série réelle convergente. On pose v_{n} = nu_{n}.

1. La suite (u_{n}) a-t-elle une limite ? Si oui, laquelle ? Montrer par un contre-exemple qu’on n’a pas nécessairement u_{n} = o(\frac{1}{n}).

2. On suppose que la suite (v_{n}) a une limite. Montrer que u_{n} = o(\frac{1}{n}).

3. On suppose maintenant que la suite (u_{n}) est décroissante et positive.

(a) Montrer que nu_{2n} ≤ u_{n+1} + u_{n+2} + ⋯ + u_{2n} + u_{2n+1}.

(b) En déduire que la suite (v_{2n}), puis (v_{2n+1}), tend vers 0.

(c) Montrer que u_{n} = o(\frac{1}{n}).