Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

SERIES NUMERIQUES

Exercices d’entraînement — Réponses

Exercices 1 et 2. Séries convergentes : b — g. ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = u_{0} = 2. ∑_{n=2}^{∞} b_{n} = Log(\frac{1}{2}).

Exercice 4. On a u_{n} ∼ \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} mais on ne peut rien en conclure. (∑ a_{n}) converge. On a u_{n} − a_{n} ∼ −\frac{1}{2n} donc (∑ u_{n}) diverge. D’autre part (∑ v_{n}) n’est pas absolument convergente, mais on a v_{n} − \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ∼ \frac{−1}{2n\sqrt{n}} donc (∑ v_{n}) converge.

Exercice 6. Si (∑ u_{n}) est convergente, on a lim u_{n} = 0 mais pas forcément u_{n} = o(\frac{1}{n}). Contreexemple : u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}. Contre-exemple avec des termes positifs : u_{2^{n}} = \frac{1}{n^{2}} et u_{k} = 0 si k n’est pas une puissance de 2.

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Exercices d’entraînement — Réponses

Exercices 1 et 2. Séries convergentes : b — g. ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = u_{0} = 2. ∑_{n=2}^{∞} b_{n} = Log(\frac{1}{2}).

Exercice 4. On a u_{n} ∼ \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} mais on ne peut rien en conclure. (∑ a_{n}) converge. On a u_{n} − a_{n} ∼ −\frac{1}{2n} donc (∑ u_{n}) diverge. D’autre part (∑ v_{n}) n’est pas absolument convergente, mais on a v_{n} − \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}} ∼ \frac{−1}{2n\sqrt{n}} donc (∑ v_{n}) converge.

Exercice 6. Si (∑ u_{n}) est convergente, on a lim u_{n} = 0 mais pas forcément u_{n} = o(\frac{1}{n}). Contreexemple : u_{n} = \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n}}. Contre-exemple avec des termes positifs : u_{2^{n}} = \frac{1}{n^{2}} et u_{k} = 0 si k n’est pas une puissance de 2.