Université Denis Diderot 2002-2003 DEUG MIAS Info MT231 Groupe I23

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES

Exercice 1 Considérons le système différentiel suivant :

(E) \{ \begin{matrix}x′ = & 8x − 18y + 27z \\ y′ = & −3x + \frac{7}{2}y − 6z \\ z′ = & −4x + 7y − 11z. \end{matrix}

1. Écrire le système (E) sous la forme X′ = AX, pour une certaine matrice A ∈ M_{3}(ℝ). X(t) sera le vecteur colonne formé par x(t), y(t) et z(t).

2. Trouver une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP^{−1}. Pour tout t ∈ ℝ on pose Y (t) = P^{−1}X(t).

3. Soit u(t), v(t) et w(t) les coordonnées de Y (t). Montrer que u, v et w sont solutions d’un système différentiel particulièrement simple, que l’on résoudra.

4. Déterminer l’ensemble des solutions du système (E).

Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est A, on admettra que les valeurs propres de f sont 2, −1/2 et −1, et que u = (−3/2, 1, 1), v = (0, 3/2, 1) et w = (1, 2, 1) sont des vecteurs propres respectivement associés à ces valeurs propres.

Exercice 2 Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 12x − 10y + 5z \\ y′ = & 10x − 8y + 5z \\ z′ = & −10x + 10y − 3z. \end{matrix}

Déterminer l’unique solution du système tel que – x(0) = 0, y(0) = 1 et z(0) = 2 (sans calculs),

– x(0) = 1, y(0) = 1 et z(0) = 1.

Exercice 3 Résoudre le système différentiel suivant (on cherchera d’abord l’ensemble des solutions à valeurs complexes, puis celui des solutions à valeurs réelles) :

\{ \begin{matrix}x′ = & 7x − 4y + 2z \\ y′ = & 13x − 6y + 6z \\ z′ = & −3x + 2y. \end{matrix}

Exercice 4 Résoudre les systèmes différentiels suivants :

\{ \begin{matrix}x′ = & −x + 2y + 3z \\ y′ = & 2x + 2y + 6z \\ z′ = & x + 2y + z, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}x′ = & −x + 2y + 3z − 6t + 1 \\ y′ = & 2x + 2y + 6z + 3t + 2 \\ z′ = & x + 2y + z + 1. \end{matrix}

Comme à l’exercice 2, on admettra que l’endomorphisme associé à la matrice du premier système admet une base de vecteurs propres (u, v, w), où u = (1, 2, 1) est associé à la valeur propre 6, tandis que v = (−2, 1, 0) et w = (−3, 0, 1) sont associés à la valeur propre 2.

Exercice 5 1. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est donnée par :

A = ( \begin{matrix}1 & −3 & 4 \\ 4 & −7 & 8 \\ 6 & −7 & 7 \end{matrix} ) .

Trouver une base de chaque sous-espace propre de f. Trouver une base (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de ℝ^{3} dans laquelle la matrice de f est de la forme

T_{a,b} = ( \begin{matrix}3 & 0 & a \\ 0 & −1 & b \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) avec a, b ∈ ℝ.

2. Soit λ ∈ ℝ et μ ∈ ℝ^{∗} fixés. Exprimer la matrice de f dans la base (e_{1}, μe_{2}, e_{3} + λe_{1}). Trouver une base de ℝ^{3} dans laquelle la matrice de f est T = T_{0,1}.

3. Résoudre le système différentiel suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & x − 3y + 4z \\ y′ = & 4x − 7y + 8z \\ z′ = & 6x − 7y + 7z. \end{matrix}

Exercice 6 Résoudre les systèmes différentiels suivant :

\{ \begin{matrix}x′ = & 13x − 20y − 10z \\ y′ = & 15x − 22y − 10z \\ z′ = & −15x + 20y + 8z, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}x′ = & 13x − 20y − 10z − cos t \\ y′ = & 15x − 22y − 10z − cos t \\ z′ = & −15x + 20y + 8z + cos t. \end{matrix}

Comme à l’exercice 2, on admettra que l’endomorphisme associé à la matrice du premier système admet une base de vecteurs propres (u, v, w), où u = (−1, −1, 1) est associé à la valeur propre 3, tandis que v = (2, 0, 3) et w = (0, 1, −2) sont associés à la valeur propre −2.

Exercice 7 Vérifier que les indications données en italiques aux exercices 1, 4 et 6 sont justes.

Exercice 8 On pose A = ( \begin{matrix}12 & −10 & 5 \\ 10 & −8 & 5 \\ −10 & 10 & −3 \end{matrix} ).

1. Diagonaliser A. En déduire une expression de la matrice exp(tA), pour tout t. (On ne calculera pas l’inverse de la matrice de passage.)

2. Soit X_{0} ∈ M_{3,1}(ℝ) un vecteur colonne. Montrer que exp(tA)X_{0} est solution de l’équation différentielle matricielle X′ = AX. Retrouver les résultats de l’exercice 2.

Exercice 9 On reprend les notations de l’exercice 5.

1. Donner une matrice diagonale D et une matrice triangulaire supérieure stricte N telles que DN = ND et T = D + N.

2. Calculer N^{2}, puis exp(tN) pour tout t. Calculer exp(tT) pour tout t.

3. Donner une matrice inversible P telle que A = P T P^{−1}. En déduire une expression simple de exp(tA) pour tout t. (On ne calculera pas l’inverse de la matrice de passage.)

4. Retrouver le résultat de l’exercice 5.