L1 Sciences, 1^{er} semestre 2005–2006 Mathématiques, Groupe A

Plan du cours

Première partie : Analyse

Chapitre 1. Structures fondamentales de l’analyse

03/10

I Nombres réels

Notations : ℕ, ℤ, ℝ, ℕ^{∗}, ℝ_{+}^{∗}, ⊂, ∈.

a) Algèbre Symboles ∑ et ∏. Identités remarquables. Racines d’une équation du second degré.

b) Ordre Notations max, min, | · |. Intervalles. Inégalité triangulaire. Partie entière.

II Fonctions

Notations.

a) Algèbre Opérations sur les fonctions. Parité, periodicité. Composition. Exemples.

b) Ordre Comparaison entre fonctions. Monotonie.

Chapitre 2. Limites et continuité

05/10

I Limites

a) Définitions Définition « intuitive », définition « mathématique »(hors-programme). Limites à droite, à gauche, infinies, en l’infini. Dessins, exemples de discontinuités.

b) Algèbre Limites usuelles et opérations : cf exos.

c) Ordre Passage à la limite dans les inégalités. Théorème des gendarmes.

d) Continuité Définition.

II Continuité sur un intervalle

Définition.

a) Image d’un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires. Dessins. Applications à la résolution d’équations.

b) Image d’un segment Fonction majorée, minorée, bornée. Maximum, minimum. Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Chapitre 3. Dérivation

11/10

I Dérivation en un point

a) Définition Taux d’accroissement. Nombre dérivé, à droite, à gauche. Définitions équivalentes. Dérivable ⇒ continu.

b) Interprétation géométrique Cordes, tangentes d’un graphe. Pentes. Demi-tangentes.

c) Algèbre Produit, somme, quotient, composition. Exemples : fractions rationnelles, racine carrée.

II Dérivabilité sur un intervalle

17/10

Définition.

a) Ordre (1) Conséquences de la monotonie et de la présence d’extrema sur la dérivée.

b) Théorème des accroissements finis Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Application : inégalité des accroissements finis.

c) Ordre (2) Influence du signe de la dérivée sur la monotonie.

Chapitre 4. Développements limités

18/10

I Formule de Taylor-Young

a) Dérivées d’ordre supérieur Définition. Classe C^{n}. Opération. Cas des polynômes.

b) Formule de Taylor-Young Formule. Interprétation graphique pour l’ordre 2.

c) Fonctions usuelles Dérivées à tout ordre de sin, cos, exp. Formules de Taylor-Young en 0.

II Développements limités

24/10

a) Définition Définition, lien avec Taylor-Young. Exemples : 1/(1 − x), 1/(1 + x).

b) Algèbre Développement limité d’une somme, d’un produit, d’une composée, d’un quotient : méthodes.

c) Applications

02/11 Calcul de limites : résolution de formes indéterminées. Asymptotes au graphe d’une fonction et position relative.

Chapitre 5. Fonctions de plusieurs variables

08/11

I Définitions

a) Les espaces ℝ^{n} Définition pour n = 2, 3 ou 4. Opérations d’espace vectoriel, produit scalaire. Équation d’une droite (n = 2), d’un plan (n = 3).

b) Fonctions de plusieurs variables Définition, graphe. Fonctions linéaires, affines.

II Dérivation

a) Premier ordre Dérivées partielles. Gradient, différentielle en un point. Plan tangent (n = 2).

b) Deuxième ordre

09/11

Point critique. Minimum local, maximum local, point col.

c) Changement de variable Formule pour f ∘ (u, v).

Deuxième partie : Algèbre

Anneaux, Corps (hors-programme).

Chapitre 6. Nombres complexes

22/11

I Définitions

a) Opérations Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire. Structure d’anneau. Module et conjugué. Inverse.

b) Le plan de Cauchy Représentation graphique. Inégalité triangulaire. Module et argument. Notation e^{iθ}, formules d’Euler.

II Résolution des équations polynômiales

a) Cas général Racines n^{ièmes} de l’unité. Théorème de D’Alembert-Gauss.

b) Second degré

23/11 Racines carrées d’un nombre complexe. Racines d’un trinôme du second degré.

Chapitre 7. Matrices

30/11

I L’anneau des matrices

a) Définitions Définition. Matrices ligne, colonne, diagonale, triangulaire. Structure vectorielle. Produit d’une ligne par une colonne, structure d’anneau.

b) Particularités Non-commutativité de la multiplication. Matrices non-inversibles, diviseurs de 0.

II Lien avec les systèmes linéaires

07/12

a) Généralités Écriture matricielle d’un système. Solution particulière, sous-espace des solutions.

b) Méthodes de calcul Systèmes triangulaires, méthode pour s’y ramener.

Chapitre 8. Polynômes

13/12

I Généralités

a) Définition Expression linéaire (à coefficients dans ℝ ou ℂ) en les puissances d’une indéterminée X. Évaluation en un point d’un anneau dont le centre contient ℝ (ou ℂ). Fonction polynôme.

b) Opérations Somme, produit. ℝ[X] est un anneau et X^{p}X^{q} = X^{p+q}. ℝ[X] est commutatif, intègre, mais n’est pas un corps. Polynôme dérivé, cas d’un produit, d’une somme.

c) Degré Définition, deg(0) = −∞. Degré d’un produit, d’une somme. Polynôme constant. Coefficient dominant, polynôme unitaire ou normalisé.

II Arithmétique

a) Divisibilité Définition, propriétés élémentaires. Division euclidienne.

b) Racines Racines et divisibilité. Racines multiples, lien avec la dérivée. Nombre maximal de racines.

c) Plus grand commun diviseur Définition. Algorithme d’Euclide et théorème de Bézout. Polynômes premiers entre eux, théo-

03/01 rème de Gauss. PPCM.

d) Irréductibilité Définition. Lemme d’Euclide. Décomposition en facteurs irréductibles. Cas de ℂ[X] et ℝ[X]. Nombre de racines complexes.

III Fractions rationnelles

10/01

a) Définition Fractions rationnelles, opérations, corps. Degré, forme irréductible, racines, pôles, valeur en un point.

b) Décomposition en éléments simples Partie entière. Éléments simples de ℂ(X) et ℝ(X). Décomposition en éléments simples. Division suivant les puissances croissantes.