LICENCE 1  2005-2006 SFE1  R. Vergnioux

Fonctions trigonométriques

Corrigé

En déduire les sinus et cosinus de π − a, π + a, −a, \frac{π}{2} − a et \frac{π}{2} + a en fonction de ceux de a.

cos(π − a) = − cos(a) cos(\frac{π}{2} − a) = sin(a)  cos(−a) = cos(a)
sin(π − a) = sin(a) sin(\frac{π}{2} − a) = cos(a) sin(−a) = − sin(a)
cos(π + a) = − cos(a) cos(\frac{π}{2} + a) = − sin(a)
sin(π + a) = − sin(a) sin(\frac{π}{2} + a) = cos(a)

Calculer l’aire de ABCD en fonction de b et h, et en déduire A(ABE).

On a A(ABCD) = bh d’après le rappel. Soit H le projeté orthogonal de E sur (AB). Les triangles AHE et ADE ont la même aire par symétrie, ainsi que BHE et BCE. Par conséquent

A(ABE) = A(AHE) + A(BHE) = (A(AHE) + A(ADE) + A(BHE) + A(BCE))/2
= A(ABCD)/2 = bh/2.

On pose a = AE, b = BE et c = AB. Quelle est l’aire de ABE? Combien vaut EF ? En déduire que c^{2} = (b − a)^{2} + 2ab, et le théorème de Pythagore.

D’après l’encadré précédent A(ABE) = ab/2. Par ailleurs EF = b−a car les quatre triangles rectangles ont des petits côtés de même longueur. Ainsi

c^{2} = A(ABCD) = 4 × A(ABE) + EF^{2} = 2ab + (b − a)^{2} = a^{2} + b^{2}.

Cela démontre le théorème de Pythagore pour le triangle ABE rectangle en E.

Les triangles Y AA_{1} et Y BB_{1} sont semblables : on a \frac{AA_{1}}{Y A_{1}} = \frac{BB_{1}}{Y B_{1}} . Notons y l’ordonnée de Y, déduire de la relation précédente une expression de y en fonction des sinus et cosinus de a et b.

Par définition des sinus et cosinus de a on a AA_{1} = y−sin(a), Y A_{1} = cos(a) et de même BB_{1} = sin(b)−y et Y B_{1} = cos(b). Par conséquent la relation donnée dans l’énoncé s’écrit

\frac{y − sin(a)}{cos(a)} = \frac{sin(b) − y}{cos(b)} ⟺ y × (cos(a) + cos(b)) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a).

En utilisant OY comme base, calculer les aires A(OY A) et A(OY B) en fonction de cos(a), cos(b) et y.

On a A(OY A) = y cos(a)/2 et A(OY B) = y cos(b)/2.

D’autre part, calculer directement l’aire de OAB en utilisant OB comme base. En déduire la formule d’addition pour les sinus.

La hauteur de OAB relative à OB a pour longueur OA × sin(a + b). Comme OA = OB = 1 il vient

sin(a + b) = 2 × A(OAB) = 2(A(OY A) + A(OY B))

= y(cos(a) + cos(b)) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)

d’après les encadrés précédents. Cela démontre la formule d’addition pour les sinus.

Montrer à l’aide de (1) que sin(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. En déduire que cos(x) tend vers 1 lorsque x tend vers 0.

On a 0 ≤ | sin(x)| ≤ |x| pour x ∈] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ donc, d’après le théorème des gendarmes, lim_{x→0} | sin(x)| = 0. Cela équivaut à lim_{x→0} sin(x) = 0. Par ailleurs on a (cos x)^{2} = 1 − (sin x)^{2} d’après le théorème de Pythagore, donc lim_{x→0}(cos x)^{2} = 1. Comme cos x est positif pour x ∈ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ], on a cos x = \sqrt{(cos x)^{2}} donc lim_{x→0} cos(x) = \sqrt{1^{2}} = 1.

Montrer, toujours à l’aide de (1), que sin(x)/x tend vers 1 lorsque x tend vers 0. En déduire que sin est dérivable en 0 et donner la valeur de sin′(0).

Pour x ∈] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ et x ≠ 0, l’inégalité (1) peut s’écrire comme suit :

| sin(x)| ≤ |x| ≤ |\frac{sin(x)}{cos(x)}| ⟺ 1 ≤ |\frac{x}{sin(x)}| ≤ \frac{1}{cos(x)} ⟺ | cos(x)| ≤ |\frac{sin(x)}{x}| ≤ 1.

On a vu à l’encadré précédent que lim_{x→0} cos(x) = 1, le théorème des gendarmes montre donc que | sin(x)/x| tend vers 1 quand x tend vers 0. Comme sin(x) et x sont de même signe sur ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [, on a | sin(x)/x| = sin(x)/x donc

lim_{x→0} \frac{sin(x) − sin(0)}{x − 0} = lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1.

Cela signifie que sin est dérivable en 0 et sin′(0) = 1.

En utilisant l’encadré précédent, montrer que (1 − cos(x))/x tend vers 0 lorsque x tend vers 0. (Il y a une petite astuce.) En déduire que cos est dérivable en 0 et déterminer cos′(0).

On multiplie en haut et en bas par (1 + cos x), et on utilise le théorème de Pythagore :

\frac{1 − cos x}{x} = \frac{1 − (cos x)^{2}}{x(1 + cos x)} = \frac{sin x}{x} \frac{sin x}{1 + cos x}

Le premier terme tend vers 1 d’après le dernier encadré, et l’encadré précédent montre que le second terme tend vers 0. Ainsi (cos x−1)/x tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Cela signifie que cos est dérivable en 0 et cos′(0) = 0.

On considère la fonction f : ℝ → ℝ, x ↦ sin(a + x). Montrer, à l’aide de la formule d’addition pour les sinus, que f est dérivable en 0 et déterminer f′(0).

On a f(x) = sin(a) cos(x) + cos(a) sin(x). Les termes sin(a) et cos(a) sont constants, donc les deux encadrés précédents montrent que f est dérivable en 0 et f′(0) = sin(a) cos′(0) + cos(a) sin′(0) = cos(a).

Démontrer les égalités tan′(x) = \frac{1}{(cos(x))^{2}} = 1 + (tan(x))^{2}.

On utilise le théorème de dérivation des quotients et, pour la première forme de tan′, le théorème de Pythagore :

tan′ = (\frac{sin}{cos})′ = \frac{sin′ cos − sin cos′}{cos^{2}} = \frac{cos^{2} + sin^{2}}{cos^{2}} = \frac{1}{cos^{2}} et 1 + tan^{2} .

On pose s = sin(\frac{π}{3} ) et c = cos(\frac{π}{3} ). Calculer sin(3 × \frac{π}{3} ) en fonction de s et c. En déduire les valeurs de s et c.

On écrit 3 × \frac{π}{3} = \frac{π}{3} + \frac{2π}{3} et on applique une première fois la formule d’addition pour les sinus :

sin(3 × \frac{π}{3} ) = s × cos(\frac{2π}{3} ) + c × sin(\frac{2π}{3} ).

Puis on écrit \frac{2π}{3} = \frac{π}{3} + \frac{π}{3} et on applique les formules d’addition pour les sinus et pour les cosinus :

sin(3 × \frac{π}{3} ) = s(c^{2} − s^{2}) + c(sc + cs) = 3sc^{2} − s^{3}.

En remplaçant c^{2} par 1 − s^{2} et en remarquant par ailleurs que sin(3 × \frac{π}{3} ) = sin(π) = 0 on aboutit à l’équation 0 = 3s − 4s^{3}. Comme \frac{π}{3} ∈]0, \frac{π}{2} [ on a s > 0 donc on peut simplifier par s et écrire s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2. Une dernière application du théorème de Pythagore donne c = 1/2.