Licence 1, 2005–2006  Approfondissement en Mathématiques  R. Vergnioux

Devoir Maison :

Fonctions homographiques et ping-pong

On note SL(2, ℤ) l’ensemble des matrices A = ({a \atop c} {b \atop d}) à coefficients entiers telles que ad − bc = 1, et on définit la fonction homographique h_{A} associée à A en posant, pour z ∈ ℂ :

h_{A}(z) = \frac{az + b}{cz + d}.

L’objectif des deux premiers exercices est d’établir quelques propriétés « géométriques » des fonctions homographiques. On considère au deuxième exercice les disques et les demi-plans ouverts suivant :

D_{k} = \{z ∈ ℂ | |z − \frac{1}{2k}| < \frac{1}{2k}\} et H_{k} = \{z ∈ ℂ | Re(z) > k\},
D′ = {z ∈ ℂ | |z| < 1}  et  H′ = {z ∈ ℂ | | Re(z)| > 1}.

Rappelons qu’on appelle antécédent de y par une fonction f tout élément x tel que f(x) = y.

Exercice 1. On fixe une matrice A = ({a \atop c} {b \atop d}) dans SL(2, ℤ), et un nombre complexe w. a. Montrer que les coefficients c et d ne peuvent être tous deux nuls. b. Quel est le domaine de définition de h_{A}? (On distinguera deux cas.) c. On suppose c ≠ 0. Combien d’antécédents w a-t-il par h_{A}? (On distinguera deux cas.)

Exercice 2. On considère le cas où A est triangulaire inférieure, c’est-à-dire A = ({1 \atop k} {0 \atop 1}) avec k ∈ ℤ.

a. Montrer qu’on a |2k h_{A}(z) − 1| < 1 si k > 0 et Re(z) > 0.

(On évitera de mettre z sous forme cartésienne ou trigonométrique.) b. En déduire que h_{A} envoie H_{0} dans D_{k} si k est strictement positif. c. Montrer qu’on a |h_{A}(z)| < 1 si |k| ≥ 2 et |z| > 1. (On pourra utiliser une inégalité triangulaire.) d. En déduire que h_{A} envoie H′ dans D′ si |k| ≥ 2. e. Vérifier par ailleurs que si A = ({1 \atop 0} {k \atop 1}) avec |k| ≥ 2, l’application h_{A} envoie D′ dans H′.

Rappelons que la composée f ∘ g de deux fonctions f et g est définie par (f ∘ g)(x) = f(g(x)), lorsque cela est possible. L’objectif du prochain exercice est de montrer que la composition des fonctions homographiques correspond à la multiplication des matrices. On note I = ({1 \atop 0} {0 \atop 1}).

Précision facultative. Lorsqu’on compose des fonctions homographiques, on est confronté à des problèmes de domaine de définition. Pour remédier à cela, on rajoute un « point abstrait » ∞ à ℂ en posant ℂ̃ = ℂ ∪ {∞}. On étend ensuite h_{A} à ℂ̃ en posant, si c ≠ 0, h̃_{A}(−d/c) = ∞ et h̃_{A}(∞) = a/c, et si c = 0, h̃_{A}(∞) = ∞. On obtient ainsi une fonction h̃_{A} : ℂ̃ → ℂ̃ définie sur ℂ̃ entier.

Exercice 3. Soit A = ({a \atop c} {b \atop d}) et A′ = ({a′ \atop c′} {b′ \atop d′} ) deux matrices de SL(2, ℤ).

a. Exprimer les coefficients du produit A′A en fonction de ceux de A et A′.

b. Vérifier que A′A est un élément de SL(2, ℤ).

c. Vérifier que A admet ({d \atop −c} {−b \atop a}) comme inverse.

d. Lorsque la quantité h_{A′}(h_{A}(z)) est définie, l’exprimer comme quotient de deux polynômes en z. e. En déduire que h_{A′} ∘ h_{A} = h_{A′A}.

(Pour être vraiment correct il faut écrire cette égalité avec les fonctions h̃.)

Pour le dernier exercice, on fixe deux matrices de SL(2, ℤ) : A = ({1 \atop 2} {0 \atop 1}) et B = ({1 \atop 0} {2 \atop 1}). On veut montrer qu’on ne peut jamais avoir d’identité du type

A^{k_{1}}B^{l_{1}}A^{k_{2}}B^{l_{2}}A^{k_{3}} ⋯ B^{l_{p−1}}A^{k_{p}} = I  (∗)

où les puissances k_{1}, l_{1}, …, l_{p−1}, k_{p} sont des entiers relatifs non nuls (sauf éventuellement le premier et le dernier). On dit alors que les matrices A et B sont libres dans SL(2, ℤ). Pour cela on utilise les résultats géométriques du deuxième exercice. Rappelons qu’on note ℤ^{∗} l’ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exercice 4. (Facultatif) On prend A = ({1 \atop 2} {0 \atop 1}) et B = ({1 \atop 0} {2 \atop 1}).

a. Calculer A^{2} et A^{3}. Deviner une formule générale pour A^{n}.

b. Démontrer la formule de la question précédente par récurrence sur n ∈ ℕ.

(On utilisera en particulier l’identité A^{n+1} = AA^{n}.) c. Montrer que la formule est également valable pour n < 0.

(On utilisera la formule A^{−n} = (A^{n})^{−1} et le résultat de la question 3c). d. En remarquant que B est la transposée de A, donner une formule pour B^{n}. e. Montrer à l’aide des questions 2d et 2e qu’on a h_{A^{k}}(H′) ⊂ D′ et h_{B^{k}}(D′) ⊂ H′ pour tout k ∈ ℤ^{∗}. f. En déduire que h_{A^{k}} ∘ h_{B^{l}} ∘ h_{A^{m}}(H′) ⊂ D′ pour tous k, l, m ∈ ℤ^{∗}. Peut-on avoir A^{k}B^{l}A^{m} = I?

Avec exactement le même raisonnement, on montre qu’on ne peut pas avoir d’identité du type (∗) avec des produits de longueur arbitraire commençant et finissant par une puissance non nulle de A. Pour les produits qui commencent par une puissance non nulle de A et finissent par une puissance non nulle de B, il faut une petite astuce supplémentaire. Considérons par exemple C = A^{k}B^{l}A^{m}B^{n} avec k, l, m, n ∈ ℤ^{∗}, et écrivons n = n_{1} + n_{2} avec n_{1}, n_{2} ∈ ℤ^{∗}. En multipliant à gauche par B^{n_{2}} et à droite par B^{−n_{2}} on a :

C = I ⟺ B^{n_{2}}CB^{−n_{2}} = B^{n_{2}}B^{−n_{2}} ⟺ B^{n_{2}}A^{k}B^{l}A^{m}B^{n_{1}+n_{2}}B^{−n_{2}} = I
⟺ B^{n_{2}}A^{k}B^{l}A^{m}B^{n_{1}} = I.

Mais à nouveau, cela est impossible car le membre de gauche envoie D′ dans H′. En effet B^{n_{1}} envoie D′ dans H′, qui est envoyé par A^{m} dans D′, que B^{l} envoie à nouveau dans H′, qui est à nouveau envoyé par A^{k} dans D′, que B^{n_{2}} envoie finalement dans H′. Autrement dit, A et B jouent au ping-pong ...