Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Algèbre Feuille n^{o} 1

Quelques rappels de cours :

– Définition. Soit E un espace vectoriel sur ℝ et F ⊂ E une partie non vide. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si pour tous u, v ∈ F et λ ∈ ℝ on a u + v ∈ F et λu ∈ F.

– Définition. Soit E un espace vectoriel sur ℝ et (u_{1}, …, u_{n}) une famille de vecteurs de E. On dit que (u_{i}) est génératrice si tout vecteur v ∈ E peut s’exprimer sous la forme v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}u_{i} avec λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ. On dit que (u_{i}) est libre si ∑_{i=1}^{n} λ_{i}u_{i} = 0 ⇒ ∀ i λ_{i} = 0. On dit que (u_{i}) est une base si elle est libre et génératrice.

– Théorème. Soit E un espace vectoriel de dimension n et (u_{1}, …, u_{n}) une famille de n vecteurs de E. Alors (u_{i}) est une base ssi elle est génératrice ssi elle est libre.

– Définition. Soit E et F des espaces vectoriels sur ℝ et f : E → F une application. On dit que f est linéaire si pour tous u, v ∈ E et λ ∈ ℝ on a f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λu) = λf(u).

– Définition. Soit f : E → F une application linéaire. Le noyau de f est le sous-espace de E défini par Ker f = {u ∈ E | f(u) = 0}. L’image de f est le sous-espace de F défini par Im f = {f(u) | u ∈ E}.

– Théorème. Soit f : E → F une application linéaire. Alors dim E = dim Ker f + dim Im f.

– Notation. On note ℝ_{n}[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans ℝ et de degré inférieur ou égal à n. Si E et F sont deux ensembles, on note F^{E} l’ensemble des applications de E dans F.

I. Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels :

E_{1} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y − z = 0} ; E_{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} − z^{2} = 0} ;
E_{3} = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f est dérivable} ;  E_{4} = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f(1) = 0} ;
E_{5} = {f ∈ ℝ^{ℝ} | f est croissante} ;  E_{6} = {P ∈ ℝ[X] | deg(P) = 3} ;
E_{7} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y + 1 ≥ 0} ; E_{8} = {(u_{n}) ∈ ℂ^{ℕ} | u_{0} = 0} .

II. Soit E le sous-espace vectoriel de ℝ^{3} engendré par les vecteurs (2, 3, −1) et (1, −1, −2). Soit F le sous-espace vectoriel de ℝ^{3} engendré par les vecteurs (3, 7, 0) et (5, 0, −7).

1. Quelle est la dimension de E? et celle de F ? Montrer que E et F sont égaux.

2. Quel est l’ensemble des couples (x, y) tels que le vecteur v = (−2, x, y) appartienne à E?

III. Les familles de vecteurs suivantes sont-elles libres ? génératrices ? Donner, dans chaque cas, une relation de dépendance linéaire s’il en existe une, ainsi qu’une sous-famille libre de cardinal maximal.

1. Dans ℝ^{2} : ((3, 2), (3, −1), (5, −2)).

2. Dans ℝ^{3} : ((2, 3, 1), (−1, 5, 3)).

3. Dans ℝ_{3}[X] : (3 + 3X + X^{2} + X^{3}, 1 − X − X^{2} + X^{3}, −1 − X + X^{2} + X^{3}, 3 − 3X + X^{2} − X^{3}).

IV. Soit (S) le système d’équations linéaires :

\{ \begin{matrix}x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + z + t = 0 \\ x − t = 0 \end{matrix}

Montrer que l’ensemble des solutions de (S) forme un sous-espace vectoriel F de ℝ^{4}. Déterminer la dimension et une base de F.

V. Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que B est une base de l’espace vectoriel E et calculer les coordonnées du vecteur u dans la base B.

1. E = ℝ^{3} ; B = ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)) ; u = (1, 3, 2).

2. E = ℂ^{3} ; B = ((1, −1, i), (−1, i, 1), (i, 1, −1)) ; u = (1 + i, 1 − i, i).

3. E = ℝ_{3}[X] ; B = (1 + X + X^{2} + X^{3}, X + X^{2} + X^{3}, X^{2} + X^{3}, X^{3}) ; u = (X + 1)^{2}.

VI. Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

f_{1} : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (2x + y, 4x − y)
f_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x, y, z) ↦ (xy, x, y)
f_{3} : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x, y, z) ↦ (x + 2y, 2x − y + z, −5y + z)
f_{4} : ℝ_{3}[X] → ℝ^{3}, P ↦ (P (−1), P (0), P (1))
f_{5} : ℝ^{ℕ} → ℝ^{ℕ}, (a_{n})_{n∈ℕ} ↦ (a_{3n})_{n∈ℕ},
f_{6} : ℝ[X] → ℝ, P ↦ P (0)P (1)
f_{7} : ℝ_{3}[X] → ℝ_{2}[X], P ↦ P′

Pour les applications linéaires f trouvées ci-dessus, déterminer le noyau et le rang de f.

VII. Dans le plan vectoriel rapporté à une base (i, j) on définit l’application linéaire f par :

f(i) = 2i − 3j, f(j) = i − 2j.

1. Exprimer les coordonnées de f(u) en fonction de celles de u, dans la base (i, j).

2. Montrer que l’ensemble des vecteurs u tels que f(u) = u est une droite. Déterminer un vecteur directeur i′ de cette droite.

3. Montrer que l’ensemble des vecteurs u tels que f(u) = −u est une droite. Déterminer un vecteur directeur j′ de cette droite.

4. Montrer que (i′, j′) est une base.

Donner l’expression de f dans cette base, comme à la première question.

5. Soit v = i′ + 2j′. Placer i′, j′, v et f(v) sur un dessin.

VIII. Soit E = ℝ_{2}[X] et notons B = (1, X, X^{2}) la base canonique de E. Soit m ∈ ℝ. On considère l’application

f_{m} : E → E, P ↦ X^{2}P′′ − (2m − 1)XP′ + m^{2}P.

1. Montrer que l’application f_{m} est linéaire.

2. Calculer f_{m}(X^{i}) lorsque i = 0, 1, 2.

3. En déduire une base de Im f_{m} et Ker f_{m} en fonction du paramètre m.

4. Lorsque f_{m} est un automorphisme, donner sa bijection réciproque.

IX. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} qui suit :

f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x, y, z) ↦ (x + 3y − 3z, 4y, −3x + 3y + z)

Soit F et G les endomorphismes de ℝ^{3} définis par F = f − 4Id et G = f + 2Id.

1. Exprimer F (x, y, z) et G(x, y, z) en fonction de x, y et z.

2. Donner une base de Ker F et une base de Ker G.

3. Montrer que ℝ^{3} = Ker F ⊕ Ker G.

4. En utilisant la question précédente, montrer que f^{2} − 2f − 8Id = 0. (Indication : on pourra remarquer que f^{2} − 2f − 8Id = F ∘ G = G ∘ F.)

X. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que

Ker f = Ker f^{2} ⟺ Im f = Im f^{2}.

XI. Soit les applications linéaires

f : ℝ^{3} → ℝ^{2}, (x, y, z) ↦ (x + 2y + 3z, y + 2z)
g : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x, y) ↦ (x − y, x − 2y, x − 3y).

1. Donner, dans les bases canoniques de ℝ^{2} et de ℝ^{3}, les matrices de f et g.

2. Calculer les matrices de g ∘ f et de f ∘ g dans les bases précédentes. En déduire l’expression de (g ∘ f)(x, y, z) et de (f ∘ g)(x, y).

3. Calculer le rang des applications linéaires f ∘ g et g ∘ f.

Lorsque c’est possible, donner la matrice de leur inverse.

XII. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} représenté dans la base canonique B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de ℝ^{3} par la matrice

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & −1 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} ) .

1. On pose e′_{1} = e_{2} + e_{3}, e′_{2} = e_{1} + e_{3}, e′_{3} = e_{1} + e_{2}. Montrer que B′ = (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}) est une base de ℝ^{3}.

2. Écrire la matrice A′ de f dans la base B′. Calculer A^{′n} pour tout n.

3. Écrire la matrice de passage de B à B′. Calculer les coordonnées dans B′ du vecteur u = e_{1} + e_{2} + e_{3}.

4. Calculer les coordonnées dans la base canonique du vecteur f^{n}(u).