Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Algèbre Feuille n^{o} 2

Quelques rappels de cours. Soit n ∈ ℕ^{∗} et f : ℝ^{n} → ℝ^{n} une application linéaire.

– Définition. On dit que le réel λ est valeur propre de f s’il existe un vecteur v ∈ ℝ^{n} non nul tel que f(v) = λv. On dit alors que v est un vecteur propre de f associé à λ. On dit que f est diagonalisable s’il existe une base de ℝ^{n} formée de vecteurs propres de f.

– Définition. Le sous-espace propre de f associé à un réel λ est E_{λ}(f) = Ker(f − λId). Le polynôme caractéristique de f est P_{f} = det(f − XId).

– Définition. On dit qu’un polynôme réel P de degré n est scindé s’il a n racines réelles comptées avec multiplicité. On dit que P est à racines simples si toutes ses racines sont simples. On note mult_{λ}(P) la multiplicité d’une racine λ de P.

– Proposition. Les racines du polynôme caractéristique P_{f} sont exactement les valeurs propres de f. Son terme dominant est (−X)^{n}. Sa valeur en 0 est le déterminant de f.

– Proposition. Deux sous-espaces propres E_{λ}(f), E_{μ}(f) avec λ ≠ μ sont en somme directe.

– Théorème. Pour toute valeur propre λ de f on a dim E_{λ}(f) ≤ mult_{λ}(P_{f}). De plus f est diagonalisable si et seulement si P_{f} est scindé et l’inégalité précédente est une égalité pour toutes les valeurs propres de f.

– Corollaire. Si P_{f} n’est pas scindé, f n’est pas diagonalisable. Si P_{f} est scindé à racines simples,

alors f est diagonalisable. I. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}12 & 11 & 5 \\ −10 & −9 & −4 \\ −6 & −6 & −3 \end{matrix} ).

1. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f.

2. Montrer que f est diagonalisable.

3. Déterminer une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

4. Trouver une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que D = P^{−1}AP soit diagonale.

II. Soit a un nombre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}3 & 3 & −4 \\ 4a − 2 & −2 & 3 \\ 3a + 1 & 2 & −1 \end{matrix} ) .

1. On prend a = 0.

(a) Calculer le polynôme caractéristique de f.

(b) Dresser le tableau de variation de la fonction (x ↦ P_{f}(x)).

(c) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

2. Réaliser la même étude dans le cas a = −1.

III. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique de f.

2. Déterminer les valeurs propres de f et la dimension des sous-espaces propres associés.

3. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

4. Trouver une base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

5. Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

IV. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}3 & 3 & −5 \\ 2 & 4 & −5 \\ 2 & 3 & −4 \end{matrix} ).

1. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f.

2. Déterminer les valeurs propres de f et la dimension des sous-espaces propres associés.

3. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

4. Déterminer une base (u_{1}, u_{2}) du sous-espace propre E_{1}.

5. On pose u_{3} = (−1, 1, 0). Vérifier que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est une base de ℝ^{3}.

6. Écrire la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}).

V. On considère deux suites (u_{n}), (v_{n}) définies par les valeurs u_{0}, v_{0} et le système de récurrence

\{ \begin{matrix}u_{n+1} = 11u_{n} − 18v_{n} \\ v_{n+1} = 6u_{n} − 10v_{n}. \end{matrix}

On pose X_{n} = ({u_{n} \atop v_{n}} ) pour tout n ∈ ℕ.

1. Trouver une matrice A ∈ M_{2}(ℝ) telle que le système ci-dessus s’écrive X_{n+1} = AX_{n}.

2. Trouver une matrice P ∈ GL_{2}(ℝ) et une matrice diagonale D ∈ M_{2}(ℝ) telles que A = P DP^{−1}.

3. Montrer qu’on a X_{n} = P D^{n}P^{−1}X_{0} pour tout n ∈ ℕ.

4. On suppose que u_{0} = 7 et v_{0} = 4. Calculer u_{n} et v_{n} pour tout n.

Sans calculer P^{−1}, on pourra chercher un vecteur colonne Y_{0} tel que P Y_{0} = X_{0}.