Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Algèbre Feuille n^{o} 3

Quelques rappels de cours. Soit E un espace vectoriel sur ℝ de dimension finie.

– Une forme bilinéaire sur E est une application φ : E×E → ℝ telle que φ(x+x′, y) = φ(x, y)+φ(x′, y), φ(x, y +y′) = φ(x, y)+φ(x, y′) et φ(λx, y) = φ(x, λy) = λφ(x, y) pour tous x, x′, y, y′ ∈ E et λ ∈ ℝ.

– La forme bilinéaire φ : E × E → ℝ est dite symétrique si on a φ(x, y) = φ(y, x) pour tous x, y ∈ E. Elle est dite positive si on a φ(x, x) ≥ 0 pour tout x ∈ E, et définie-positive si φ(x, x) = 0 ⇒ x = 0.

– Une forme quadratique est une application q : E → ℝ telle que q(x) = φ(x, x) pour une certaine forme bilinéaire symétrique φ. On a la formule de polarisation : φ(x, y) = (q(x + y) − q(x − y))/4.

– Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique et définie-positive. Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire φ.

– Dans un espace euclidien on note ∥x∥ = \sqrt{φ(x, x)} et x · y = φ(x, y). On dispose de l’inégalité triangulaire ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ et de l’inégalité de Cauchy-Schwartz |x · y| ≤ ∥x∥∥y∥.

– Soit E un espace euclidien. Deux vecteurs x, y ∈ E sont dits orthogonaux si on a x·y = 0. L’orthogonal d’une partie A ⊂ E est le sous-espace A^{⊥} = {x ∈ E | ∀ y ∈ A y · x = 0}.

– Une base (x_{i}) d’un espace euclidien E est dite orthogonale si on a x_{i} · x_{j} = 0 pour tous i ≠ j,

orthonormale si de plus ∥x_{i}∥ = 1 pour tout i. I. Montrer que les applications φ suivantes sont des formes bilinéaires, dire si elles sont symétriques et calculer φ(x, x) :

1. φ ((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + 2xy′ + zz′ − 2yz′ + 2x′y

2. φ ((x, y), (x′, y′)) = 3xx′ − x′y − xy′ + yy′

Montrer que les applications q suivantes sont des formes quadratiques en calculant les formes bilinéaires associées :

1. q(x, y, z) = x^{2} + 4xy − 2yz + z^{2} 2. q(x, y) = 3x^{2} − 2xy + y^{2}

3. q(x, y, z) = 2xy − y^{2} + 5yz + 3z^{2} 4. q(x, y, z) = xy + 2xz − yz

5. q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz

II. Les formes quadratiques suivantes sont-elles positives ? définies-positives ? En donner des expressions développées.

1. q(x, y, z) = (x + 2y)^{2} + (z − y)^{2} − 5y^{2} 2. q(x, y) = 2x^{2} + (y − x)^{2}

6. q(x, y, z) = −2(x + y − z)^{2} + (y − 2z)^{2} + (2x + y)^{2}

Inversement, en écrivant les formes quadratiques 3, 4 et 5 de l’exercice précédent comme combinaisons linéaires d’un minimum de carrés, dire si elles sont positives ou pas.

III. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

1. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3}. Calculer les quantités suivantes : ∥(0, 0, 1)∥, ∥(3, 1, 0)∥, (3, 1, 0) · (−4, 0, 1), ∥(0, 4, 3)∥.

2. Orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}).

Soit P l’orthogonal du vecteur e_{1} + e_{2}. Trouver une base orthonormale de P.

3. Soit Q l’orthogonal du vecteur e_{3}.

(a) Écrire l’équation de Q.

(b) Trouver une base de Q, puis une base orthonormale de Q.

(c) Donner une base orthonormale (v_{1}, v_{2}, v_{3}) de (ℝ^{3}, q) telle que Q = Vect(v_{2}, v_{3}).

IV. Soient n un entier positif et E = ℝ_{n}[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n. Soit φ : E × E ⟶ ℝ l’application définie par

φ(P, Q) = ∫_{0}^{1} P (t)Q(t)dt.

1. Montrer que φ définit un produit scalaire sur E.

Calculer ||X − \frac{1}{2}|| et (2X − 1) · X^{2}.

2. Soit F le sous-espace vectoriel des polynômes P ∈ E tels que P′(0) = 0. (a) En écrivant F comme un noyau, montrer que F^{⊥} est une droite. Soit H un vecteur directeur de F^{⊥}. On peut supposer qu’on a ∫_{0}^{1} H(t)^{2}dt = H′(0), quitte à multiplier H par une constante.

(b) En vérifiant l’égalité pour les éléments de F puis pour H, montrer qu’on a

∀ P ∈ E ∫_{0}^{1} H(t)P (t)dt = P′(0).

3. On considère le cas n = 2.

(a) Orthonormaliser la base (1, X, X^{2}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

(b) Calculer le polynôme H.

V. Soit E un espace euclidien.

1. Montrer que pour tous u, v ∈ E, on a l’égalité

2 (u · v) = ∥u + v∥^{2} − ∥u∥^{2} − ∥v∥^{2}.

2. En déduire que pour tous u, v ∈ E, on a l’égalité de la médiane :

∥u + v∥^{2} + ∥u − v∥^{2} = 2 (∥u∥^{2} + ∥v∥^{2}) .

3. En déduire par ailleurs que pour tous u, v ∈ E on a

u⊥v ⟺ ∥u + v∥^{2} = ∥u∥^{2} + ∥v∥^{2}.

VI. Soit q : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + 16z^{2} − 4xy + 6xz − 16yz.

1. Montrer que la forme bilinéaire symétrique associée à q est un produit scalaire.

2. Orthonormaliser la base canonique.

3. Donner l’équation du plan orthogonal au vecteur (0, 1, 2).