Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Algèbre Feuille n^{o} 4

Quelques rappels de cours. Soit E un espace euclidien.

– On dit qu’une matrice A ∈ M_{n}(ℝ) est symétrique si on a ^{t}A = A, orthogonale si on a ^{t}AA = I_{n}.

– On dit qu’une application linéaire f ∈ L(E) est symétrique si on a f(x) · y = x · f(y) pour tous x, y ∈ E, cela équivaut au fait que la matrice de f est symétrique dans toute base orthonormale de E.

– On dit qu’une application linéaire f ∈ L(E) est une isométrie si on a ∥f(x)∥ = ∥x∥ pour tout x ∈ E, cela équivaut au fait que la matrice de f est orthogonale dans toute base orthonormale de E.

– Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires dans E : tout vecteur x ∈ E s’écrit de manière unique x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G. La projection sur F parallèlement à G est l’endomorphisme de E qui à tout x ∈ E associe le vecteur y ∈ F correspondant.

– La projection orthogonale p_{F} sur un sous-espace F est la projection sur F parallèlement à F^{⊥}, où F^{⊥} = {x ∈ E | ∀y ∈ F y · x = 0} est l’orthogonal de F. C’est une application linéaire symétrique.

– La symétrie orthogonale par rapport à F est l’endomorphisme s_{F} = 2p_{F} − Id. C’est une isométrie et une application linéaire symétrique.

– On appelle rotation du plan ou de l’espace une isométrie de déterminant positif.

– Le produit scalaire usuel sur ℝ^{n} est la forme bilinéaire définie par x · y = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}.

– Théorème : toute application linéaire symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. I. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

1. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3} et orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}) — cf feuille 3.

2. Soit P le plan orthogonal au vecteur (1, 1, 0). Quel est le projeté orthogonal de e_{1} sur P ?

3. Calculer les coordonnées des projetés orthogonaux de e_{2} et e_{3} sur P.

4. Écrire la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

Est-elle symétrique ? Pourquoi ? Quelles sont ses valeurs propres ?

II. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = 4x^{2} + 5y^{2} + 7z^{2} − 8xy + 8xz − 6yz.

On peut vérifier que la forme bilinéaire symétrique associée à q est définie-positive ; dans le reste de l’exercice on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire. Soit P le plan d’équation z = 0. On note p la projection orthogonale sur P, s la symétrie orthogonale par rapport à P, p′ la projection orthogonale sur P^{⊥}.

1. Donner une base de P puis un vecteur directeur unitaire de P^{⊥}.

2. Exprimer p et s en fonction de p′.

3. Déterminer p′(e_{1}) et p′(e_{2}) sans calcul, puis calculer p′(e_{3}).

4. Écrire les matrices dans la base canonique de p′, puis de p et s.

5. Montrer, analytiquement puis géométriquement, que l’ensemble des vecteurs v = (x, y, z) ∈ ℝ^{3} tels que z = 1 et s(v)⊥v est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

III. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

1. Montrer que f est une projection dont on déterminera l’image et le noyau.

2. f est-elle une projection orthogonale pour le produit scalaire usuel sur ℝ^{3} ?

3. Montrer que la forme quadratique suivante définit un produit scalaire sur ℝ^{3} :

q(x, y, z) = x^{2} + 11y^{2} + 6z^{2} − 6xy + 2xz − 2yz.

4. Montrer que f est une projection orthogonale si on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire.

5. Donner une autre forme quadratique q pour laquelle ce résultat reste valable.

IV. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée par le vecteur v = (3, 1, 2). 1. Trouver une équation puis une base orthonormale de D^{⊥}.

2. Calculer les projetés orthogonaux de e_{1} = (1, 0, 0) sur D et sur D^{⊥}.

3. Écrire la matrice dans la base canonique des projections orthogonales p_{D}, p_{D^{⊥}} sur D et D^{⊥}.

4. Vérifier que p_{D} + p_{D^{⊥}} = Id.

V. Soit P le sous-espace vectoriel de ℝ^{4} d’équations

\{ \begin{matrix}x + 2y − t = 0 \\ x − 3y + z + t = 0. \end{matrix}

On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Quelle est la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale de ℝ^{4} par rapport à P ?

VI. On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Soient u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} les vecteurs de ℝ^{4} définis par

u_{1} = (2, 1, 0, 2), u_{2} = (0, 1, 0, 1), u_{3} = (2, 1, 3, 1), u_{4} = (1, 1, 1, 1).

1. Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) est une base de ℝ^{4}.

2. Orthonormaliser la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

3. Soit P le plan de ℝ^{4} engendré par les vecteurs u_{1} et u_{2}.

Trouver la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à P.

VII. On considère l’espace euclidien orienté usuel ℝ^{3}. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée (et orientée) par le vecteur v = (1, −2, 2).

1. Trouver une base orthonormée directe de ℝ^{3} dont le premier vecteur appartient à D.

2. Quelles sont les matrices dans la base canonique de (a) la symétrie orthogonale par rapport à D?

(b) la rotation d’axe D et d’angle π/2 ?

(c) la rotation d’axe D et d’angle 2π/3 ?

VIII. Soit a un paramètre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

M = ( \begin{matrix}a − 1 & −a − 2 & a − 1 \\ −a − 2 & a − 1 & 1 − a \\ a − 1 & 1 − a & a + 2 \end{matrix} ) .

1. Montrer que f est diagonalisable.

2. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f.

On fera apparaître deux 0 sur la 2^{e} ligne en opérant sur les lignes et les colonnes.

3. Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f est-il une symétrie ?

4. Trouver une base de vecteurs propres pour f lorsque a = 0.

IX. Compléter la matrice suivante en une matrice de rotation

A = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}6 & 3 & · \\ −2 & 6 & · \\ · & · & · \end{matrix} ) .

Y a-t-il plusieurs solutions ? Déterminer l’axe et le cosinus de l’angle des rotations obtenues.

X. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ −1 & −2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

1. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Montrer que f est une isométrie.

2. Montrer que f a une unique valeur propre que l’on déterminera.

3. Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} telle que u_{1} est vecteur propre de f.

4. Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

5. Montrer qu’il existe une unique rotation r et une unique symétrie orthogonale s par rapport à un plan telles que f = r ∘ s = s ∘ r. Préciser l’axe et l’angle de r.