Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 1

Quelques rappels de cours :

– Définition. La boule ouverte de centre x_{0} et rayon r dans ℝ est l’ensemble B(x_{0}, r) = ]x_{0} − r, x_{0} + r[. La boule fermée de centre x_{0} et rayon r dans ℝ est l’ensemble [x_{0} − r, x_{0} + r].

– Définition. Un ouvert de ℝ est une partie O ⊂ ℝ telle que pour tout x_{0} ∈ O il existe r > 0 tel que B(x_{0}, r) ⊂ O. Un fermé de ℝ est une partie F ⊂ ℝ dont le complémentaire est un ouvert.

– Propriété. Une partie F ⊂ ℝ est fermée si et seulement si toute suite à valeurs dans F et qui converge dans ℝ a sa limite dans F.

– Propriété. Une intersection finie et une réunion quelconque d’ouverts de ℝ sont des ouverts. Une intersection quelconque et une réunion finie de fermés de ℝ sont des fermés.

I. Soit u_{0} ∈ ]−2, +∞[. On pose u_{n+1} = \sqrt{2 + u_{n}} pour tout n ∈ ℕ.

1. Étudier, suivant la valeur de u_{0}, la monotonie de la suite (u_{n}).

2. Montrer que dans tous les cas, elle converge, et expliciter sa limite.

II. Soit u_{0} ∈ ]0, +∞[. On pose u_{n+1} = u_{n} − \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} pour tout n ∈ ℕ.

1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, u_{n} est bien défini et 0 < u_{n+1} < u_{n}.

2. Montrer que la suite (u_{n}) converge vers 0.

3. Montrer que la série de terme général \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} est convergente.

4. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, on a :

\frac{u_{n}}{1 + u_{0}} ≤ \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} .

En déduire que la série de terme général u_{n} est convergente.

III. La terminologie rappelée plus haut est cohérente :

1. Montrer qu’une boule ouverte dans ℝ est un ouvert de ℝ.

2. Montrer qu’une boule fermée dans ℝ est un fermé de ℝ.

3. Que peut-on dire d’un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite ?

IV. Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre :

1. {x ∈ ℝ | x ≠ 0} 2. {x ∈ ℝ | |x^{2} − 1| ≤ 2}

3. [2, 3] ∪ {0} 4. ]−3, 4[ ∪ [2, 5[

5. \{x ∈ ℝ | sin(x) ≥ \frac{1}{3}\} 6. \{n^{−1} | n ∈ ℕ^{∗}\}

7. \{x ∈ ℝ | 0 < x − E(x) < \frac{1}{2}\} 8. ℝ \ ℤ V. Soit A une partie de ℝ. On appelle adhérence de A l’intersection de tous les fermés qui contiennent A, et on la note Ā.

1. Montrer que Ā est le plus petit fermé de ℝ qui contient A. Que vaut Ā si A est fermé ?

2. Soit A′ une autre partie de ℝ. Montrer que A ⊂ A′ ⟹ Ā ⊂ Ā′. Que peut-on dire de la réciproque ?

3. Soit x ∈ ℝ. Montrer que x est dans Ā si et seulement si toute boule ouverte de centre x et de rayon non nul rencontre A. On pourra raisonner par contraposée.

VI. Déterminer l’adhérence des ensembles considérés à l’exercice IV.

VII. Expliciter les ensembles suivants :

1. ⋃_{n∈ℕ^{∗}} [1 + \frac{2}{n^{2}} , 3 − \frac{1}{2n}[.

2. ⋂_{n∈ℕ^{∗}} [3 − \frac{2}{n^{2}} , 3 + \frac{2n}{n + 1}].

3. ⋃_{n∈ℕ} \{x ∈ ℝ | x ≥ sin (\frac{nπ}{k} ) \}, k = 1, 2, 3.

4. ⋂_{n∈ℕ^{∗}} [cos \frac{1}{n} − sin \frac{1}{n} , cos \frac{1}{n} + sin \frac{1}{n}].