Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 10

Rappel de cours. Soit I,J deux intervalles ouverts de ℝ et f : I × J → ℝ une application de classe C^{1}. Si on a \frac{∂f}{∂x}(x, y) = 0 pour tout (x, y) ∈ I × J, alors f ne dépend pas de x : il existe g : J → ℝ de classe C^{1} telle que f(x, y) = g(y) pour tout (x, y) ∈ I × J.

I. Soit E = ]−1, 1[^{2} ⊂ ℝ^{2}.

1. Soit f : E → ℝ une application de classe C^{1} telle que

∀(x, y) ∈ E \frac{∂f}{∂x} (x, y) = 1.

Montrer qu’il existe une application g : ]−1, 1[ → ℝ, de classe C^{1}, telle que f(x, y) = x + g(y) pour tout (x, y) ∈ E.

2. Déterminer toutes les applications f : E → ℝ de classe C^{1} telles que

∀(x, y) ∈ E (x^{2} + y^{2} + 1)\frac{∂f}{∂x} (x, y) + 2xf(x, y) = 1.

II. Soit E = ]0, +∞[^{2}. On chercher à déterminer l’ensemble des fonctions f : E → ℝ telles que

∀(x, y) ∈ E x\frac{∂f}{∂x} (x, y) + y \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.  (1)

Soit φ : E → E l’application définie par φ(u, v) = (u, \frac{u}{v}) pour tout (u, v) ∈ E. Soit f : E → ℝ une

application de classe C^{1} et g = f ∘ φ : E → ℝ sa composée avec φ.

1. Montrer que g est de classe C^{1}. Calculer les dérivées partielles de g au point (u, v) en fonction de u, v et des dérivées partielles de f.

2. En déduire qu’on a, pour tout (u, v) ∈ E et (x, y) = φ(u, v) :

\frac{∂g}{∂u}(u, v) = \frac{∂f}{∂x} (x, y) + \frac{y}{x} \frac{∂f}{∂y} (x, y).

3. Montrer que f vérifie (1) si et seulement si g vérifie l’équation suivante :

∀(u, v) ∈ E \frac{∂g}{∂u}(u, v) = 0.

Quelle propriété de φ utilise-t-on ?

4. Montrer que f est solution de (1) si et seulement si il existe une fonction h : ]0, +∞[ → ℝ de classe C^{1} telle que f(x, y) = h(\frac{x}{y}) pour tout (x, y) ∈ E.

III. Soit φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} définie par φ(u, v) = (u, v + u^{2}). Soit f : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{1} et g = f ∘ φ. Résoudre grâce à g l’équation

∀(x, y) ∈ ℝ^{2} \frac{∂f}{∂x} (x, y) + 2x\frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.

IV. Soit E = ]0, +∞[^{2} et φ : E → E l’application définie par φ(u, v) = (uv, \frac{v}{u}). Soit f : E → ℝ une

application de classe C^{1} et g = f ∘ φ. Résoudre grâce à g l’équation

∀(x, y) ∈ ℝ^{2} x\frac{∂f}{∂x} (x, y) − y \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.