Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 2

Quelques rappels de cours :

– Définition. La distance euclidienne entre deux points P = (x, y) et P′ = (x′, y′) de ℝ^{2} est d(P, P′) = \sqrt{(x − x′)^{2} + (y − y′)^{2}}.

– Définition. La boule ouverte de centre P_{0} et rayon r dans ℝ^{2} est B(P_{0}, r) = {P ∈ ℝ^{2} | d(P_{0}, P) < r}. La boule fermée de centre P_{0} et rayon r dans ℝ^{2} est B′(P_{0}, r) = {P ∈ ℝ^{2} | d(P_{0}, P) ≤ r}.

– Propriété. Une partie F ⊂ ℝ^{2} est fermée si et seulement si toute suite à valeurs dans F qui converge dans ℝ^{2} a sa limite dans F. Une partie O ⊂ ℝ^{2} est ouverte si et seulement si son complémentaire est fermé.

– Propriété. Les seules parties de ℝ^{2} qui sont à la fois ouvertes et fermées sont l’ensemble vide ∅ et ℝ^{2} lui-même.

I. Soit x un point de ℝ^{2} et r > 0.

1. Montrer que B(x, r) est un ouvert de ℝ^{2}, et B′(x, r) est un fermé de ℝ^{2}.

2. Montrer que ⋂_{ε>0} B(0, 1 + ε) = B′(0, 1).

3. Montrer que ⋃_{ε>0} B′(0, 1 − ε) = B(0, 1).

4. Soit (ρ_{n}) une suite strictement croissante de ℝ^{∗} non majorée.

Déterminer ⋂_{n∈ℕ} B(0, ρ_{n}) et ⋃_{n∈ℕ} B(0, ρ_{n}). Que se passe-t-il si (ρ_{n}) est majorée ?

II. Déterminer la nature (ouvert, fermé ou ni l’un ni l’autre) des sous-ensembles suivants de ℝ^{2} : 1. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1} 2. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} = 1}

3. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} ≤ 1 et x^{2} + y^{2} < 2} 4. ([2, 3] ∪ {0}) × [−1, 1]

5. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≠ 0 et y = \frac{1}{x^{2}} \} 6. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 1 − xy > 0\}

7. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | sin(x^{2} + y^{2}) ≥ 0} 8. ℤ × (ℝ \ ℤ)

III. Pour tout n ∈ ℕ^{∗} on pose A_{n} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≥ \frac{x^{2}}{n} \}.

1. Montrer que A_{n} est un fermé de ℝ^{2} et n’est pas un ouvert de ℝ^{2}, grâce à des suites.

2. Soit A = ⋃_{n∈ℕ^{∗}} A_{n}. Montrer que A n’est ni fermé ni ouvert.

IV. On rappelle que pour P = (a, b) ∈ ℝ^{2} les points de la boule ouverte B(P, r) sont caractérisés par la propriété suivante :

(x, y) ∈ B(P, r) ⟺ (x − a)^{2} + (y − b)^{2} < r^{2}.

1. Expliciter les ensembles :

O = ⋃_{r>0} B((0, r), r) et O′ = ⋃_{r>0} B′((0, r), r).

2. Déterminer la nature de O et O′ : ouvert, fermé ou ni l’un ni l’autre.

V. Soient A et B deux parties non vides de ℝ^{2}. On définit A + B par

A + B = {x + y | (x, y) ∈ A × B}.

1. Montrer que si A est un ouvert de ℝ^{2} alors A + B est aussi un ouvert de ℝ^{2}.

2. Montrer que si A est un fermé de ℝ^{2} et B est fini, alors A + B est un fermé de ℝ^{2}.

VI. On rappelle qu’un point (x, y) ∈ ℝ^{2} peut aussi être représenté par son affixe z = x + iy ∈ ℂ. 1. Soit P, P′ deux points de ℝ^{2} d’affixes z, z′. Montrer que d(P, P′) = |z − z′|.

2. Déterminer la nature des ensembles suivants de points de ℝ^{2} donnés par leur affixe :

1. {P (z) | |z − 1| ≤ 2} 2. {P (z) | Re((2 + i)z) > 3} 3. {P (z) | e^{z} ∈ ℝ}.

VII. Les sous-ensembles suivants de ℝ^{3} sont-ils ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre ? 1. \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y^{2} + z^{3} > 1\} 2. \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | sin(xyz) ∈ ]0, \frac{1}{2}]\}

3. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | e^{x+y+z} ∈ ℤ < 2} 4. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | sin(x) + cos(yz) < 0} 5. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{3} > y^{2} et z ≥ 0}