Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 3

Quelques rappels de cours :

– Pour toute fonction f : ℝ → ℝ et toute partie A ⊂ ℝ on appelle image de A par f, et on note f(A), l’ensemble {f(x) | x ∈ A}.

– Pour toute fonction f : ℝ → ℝ et toute partie A ⊂ ℝ on appelle image réciproque de A par f, et on note f^{−1}(A), l’ensemble {x ∈ ℝ | f(x) ∈ A}.

– Si f : ℝ → ℝ est continue, l’image réciproque par f d’un ouvert est un ouvert, et celle d’un fermé est un fermé.

– Une partie A ⊂ ℝ est dite compacte si toute suite à valeurs dans A admet une sous-suite convergente.

– Les compacts de ℝ sont les parties fermées et bornées de ℝ.

– L’image d’une partie compacte de ℝ par une application continue est compacte.

L’image d’un intervalle fermé borné par une application continue est un intervalle fermé borné.

I. Déterminer si les sous-ensembles de ℝ suivants sont ouverts ou fermés :

E_{1} = \{x ∈ ℝ | |x^{2} − 2| ≤ 2\} E_{2} = \{x ∈ ℝ | sin x ≥ −\frac{1}{3}\} E_{3} = {x ∈ ℝ | sh x ≥ sin x} E_{4} = {x ∈ ℝ | e^{− ch x} < sin x < e^{ch x}}

Un seul de ces ensembles est compact. Lequel ?

II. Pour tout x dans ℝ on pose f(x) = \sqrt{1 + e^{sin x}}.

1. Montrer que f(ℝ) = f([−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]) = [\sqrt{1 + 1/e}, \sqrt{1 + e}].

2. Montrer que O = \{x ∈ ℝ | f(x) < \frac{3}{2}\} est un ouvert de ℝ.

3. Déterminer F = {x ∈ ℝ | f(x) < 2}.

III. Soit E : ℝ → ℝ la fonction partie entière, et f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x − E(x) pour tout x ∈ ℝ. 1. Tracer le graphe de f sur [−3, 3].

2. Écrire I = f^{−1}([0, \frac{1}{2}]) et J = f^{−1}([\frac{1}{2}, 1]) comme réunions infinies d’intervalles.

3. I et J sont-ils ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre ? Commenter.

4. Trouver deux intervalles compacts C, D ⊂ ℝ tels que f(C) soit compact, mais pas f(D).

IV. Soit f une application de ℝ dans ℝ telle que lim_{x→+∞} f(x) = +∞ et soit A = {f(n) | n ∈ ℕ}.

1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ et tout r ∈ ℝ la boule ouverte B(x, r) ne contient qu’un nombre fini de points de A.

2. Montrer que pour tout x ∈ ℝ \ A il existe r_{x} > 0 tel que B(x, r_{x}) ∩ A = ∅.

3. En déduire que A est un fermé de ℝ. Est-il compact ?

V. Soit f : [0, 1] → [0, 1] définie par la formule f(x) = 1 − x^{2}.

1. Étudier les variations de f et tracer le graphe de f. On précisera les tangentes en 0 et en 1 et on déterminera le point d’intersection de la courbe avec la droite y = x, dont on note l’abscisse α.

2. Faire la même étude pour g = f ∘ f.

3. On prend u_{0} ∈ [0, 1] et on définit la suite (u_{n})_{n∈ℕ} par la relation de récurrence u_{n+1} = f(u_{n}). (a) Montrer que la suite (u_{n}) admet des sous-suites convergentes.

(b) Montrer que si u_{0} ∈ ]0, α[, la suite (u_{2n}) décroît vers 0 et la suite (u_{2n+1}) croît vers 1.

(c) Procéder à l’étude analogue lorsque u_{0} ∈ ]α, 1[.

(d) Que se passe-t-il lorsque u_{0} = 0, α ou 1 ?

À quelle condition sur u_{0} la suite (u_{n}) est-elle convergente ?

VI. On pose u_{n} = \frac{π}{3n} (3n^{2} + n + 3) pour tout n ∈ ℕ^{∗}. 1. Montrer sans calcul que la suite (sin u_{n}) admet une sous-suite convergente.

2. Montrer que les sous-suites (sin u_{2n}) et (sin u_{2n+1}) convergent vers des réels l_{0} et l_{1} à préciser.

3. Soit (u_{φ(n)}) une sous-suite de (u_{n}) telle que (sin u_{φ(n)}) converge vers un réel l.

Si φ prend une infinité de valeurs paires, montrer que l = l_{0}. Sinon, montrer que l = l_{1}.

4. Quel est l’ensemble des valeurs d’adhérences de (sin u_{n}) ?

VII. Soit E : ℝ → ℝ la fonctions partie entière.

1. La fonction E est-elle continue sur ℝ?

2. Montrer que pour tout A ⊂ ℝ, l’ensemble E(A) est fermé.

3. Dans quels cas E(A) est-il compact ? Montrer que l’image d’un compact par E est compacte.

4. Existe-t-il B ⊂ ℝ tel que E(B) soit un ouvert de ℝ?

5. Déterminer C = E^{−1}(]0, e[). Est-ce un ouvert, un fermé, ou ni l’un ni l’autre ?

6. Répondre aux mêmes questions pour D = E^{−1}([0, e]).