Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 4

Quelques rappels de cours. Soit n, p ∈ ℕ^{∗} des entiers naturels.

– Si O et F sont des parties respectivement ouverte et fermée de ℝ^{p}, et si φ : ℝ^{n} → ℝ^{p} est continue, alors φ^{−1}(O) est un ouvert et φ^{−1}(F) est un fermé de ℝ^{n}.

– Les applications constantes et les applications de ℝ^{n} dans ℝ qui à x = (x_{1}, …, x_{n}) associent une des coordonnées x_{i} sont continues.

– La somme et le produit de deux applications continues de ℝ^{n} dans ℝ sont continues.

– Si f : ℝ^{n} → ℝ et g : ℝ → ℝ sont des applications continues, alors g ∘ f est une application continue de ℝ^{n} dans ℝ.

– Si f : ℝ^{n} → ℝ est une application continue, et g est une application continue d’un ouvert O ⊂ ℝ^{n} dans ℝ^{∗} = ℝ \ \{0\}, alors \frac{f}{g} est une application continue de O dans ℝ.

I. Soit P un polynôme à deux variables et à coefficients réels. Montrer que l’application de ℝ^{2} dans ℝ qui à x associe P (x) est continue.

II. Montrer que l’application φ : ℝ^{2} → ℝ définie comme suit est continue sur ℝ^{2} :

φ(x, y) = \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}.

III. Soit φ : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que φ est continue en (0, 0). On pourra commencer par montrer que |x| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} et |y| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

IV. Soit φ : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

L’application φ est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer φ(x, x) pour x ≠ 0. Qu’en est-il si on pose φ(0, 0) = \frac{1}{2} au lieu de 0 ?

V. Soit φ : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que φ est continue sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}, puis sur toute droite passant par (0, 0). Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d’équation y = x^{2}. L’application φ est-elle continue en (0, 0) ?

VI. Soit φ : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

φ(x, y) = \{ \begin{matrix}(1 + x^{2} + y^{2}) \frac{sin y}{y} & si y ≠ 0 \\ 1 + x^{2} & si y = 0. \end{matrix}

Montrer que φ est continue sur ℝ^{2}. Que peut-on en déduire pour les sous-ensembles suivants :

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | φ(x, y) > 2},

B = {φ(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 2}?

VII. Étudier la continuité sur ℝ^{2} des applications suivantes :

φ_{1}(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sh(x − y)}{x − y} & si x ≠ y \\ 1 & sinon, \end{matrix}

φ_{2}(x, y) = 1 + x^{2} − y^{2},

φ_{3}(x, y) = \{ \begin{matrix}φ_{1}(x, y) & si x > y \\ φ_{2}(x, y) & si x ≤ y. \end{matrix}