Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 6

Rappels de cours. Soit n ∈ ℕ^{∗}, U un ouvert de ℝ^{n} et f une application de U dans ℝ.

– On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à x_{i} en a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ U si la fonction g_{i} : x_{i} ↦ f(a_{1}, …, x_{i}, …, a_{n}) admet une dérivée en a_{i}, que l’on note alors \frac{∂f}{∂x_{i}} (a).

– On dit que f est différentiable en a ∈ U s’il existe une application linéaire L : ℝ^{n} → ℝ, appelée différentielle de f en a, telle que f(a + h) = f(a) + L(h) + ∥h∥ε(h) avec lim_{h→0} ε(h) = 0.

– Si f est différentiable en a ∈ U, alors elle est continue en a et admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en a. De plus la différentielle en a est alors donnée par

L(h_{1}, …, h_{n}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) × h_{i}.

– Si f admet sur U des dérivées partielles par rapport à toutes les variables qui sont continues sur U, on dit que f est de classe C^{1}, et elle est alors différentiable en tout point de U.

I. Montrer, en appliquant la définition, que les applications suivantes sont différentiables en tout point :

f_{1} : (x, y) ↦ x^{2} + xy^{2} + x, f_{2} : (x, y, z) ↦ x^{2} + xy + z^{2}.

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, 1).

Indication : si p et q sont deux entiers tels que p + q ≥ 2, alors lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{h^{p}k^{q}}{∥(h, k)∥} = 0.

II. Montrer, en calculant des dérivées partielles, que les applications suivantes sont différentiables en tout point :

f_{1}(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}), f_{2}(x, y, z) = cos(xy) + x sin(z).

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, \frac{π}{2} ).

III. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0), que l’on calculera. Est-elle continue en (0, 0) ? (cf feuille n^{o} 6)

IV. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = |x| sin(x^{2} + y). Montrer que f est continue sur ℝ^{2}. En quels points de ℝ^{2} admet-elle des dérivées partielles par rapport à x? à y?

V. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer successivement :

– que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)},

– que f admet l’application linéaire nulle comme différentielle en (0, 0),

– que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

VI. On pose U = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≠ 0} et on définit une application f : ℝ^{2} → ℝ par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}y^{2} sin (\frac{x}{y}) & si (x, y) ∈ U \\ 0 & si (x, y) ∉ U. \end{matrix}

1. Montrer que U est un ouvert de ℝ^{2} et que f est de classe C^{1} sur U.

2. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}.

Indication : on rappelle que | sin t| ≤ |t| pour tout t ∈ ℝ.

3. Montrer que f a des dérivées partielles en tout point de ℝ^{2}.

4. Montrer que f est différentiable en tout point de ℝ^{2}.

5. Montrer que f n’est pas de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

VII. Soit f la fonction de ℝ^{2} dans ℝ définie par f(x, y) = |x^{3} − y^{3}|^{2/3}.

1. Montrer que f est définie et continue sur ℝ^{2}.

2. Soit U_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} > 0} et U_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} < 0}. (a) Montrer que U_{1} et U_{2} sont des ouverts de ℝ^{2}.

(b) Montrer que g est de classe C^{1} sur U_{1} et U_{2}.

3. Montrer que g n’est pas différentiable en (1, 1).

VIII. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x^{3} − sin y^{3}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

1. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

2. Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0) et les calculer.

3. Calculer \frac{∂f}{∂x} (x, x) pour tout x et en déduire que f n’est pas de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

4. En considérant f(x, −x), montrer que f n’est même pas différentiable en (0, 0).