Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 7

Rappels de cours. Soit n, p ∈ ℕ^{∗}, U un ouvert de ℝ^{n} et f = (f_{1}, …, f_{p}) une application de U dans ℝ^{p}.

– La fonction f est continue (respectivement différentiable) en un point de U si et seulement si c’est le cas des p fonctions composantes f_{1}, …, f_{p}.

– Supposons f différentiable en a ∈ U. On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice suivante :

J_{a}(f) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} (a) & ⋯ & \frac{∂f_{1}}{∂x_{n}} (a) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂f_{p}}{∂x_{1}} (a) & ⋯ & \frac{∂f_{p}}{∂x_{n}} (a) \end{matrix} ) .

– La différentielle de f en a est une application linéaire de ℝ^{n} dans ℝ^{p} dont la matrice dans les bases canoniques est J_{a}(f).

– Soit g une application d’un ouvert V ⊂ ℝ^{p} contenant f(a) dans ℝ^{q}. Si f est différentiable en a, et g est différentiable en f(a), alors g ∘ f est différentiable en a et on a J_{a}(g ∘ f) = J_{f(a)}(g)J_{a}(f).

– En particulier, soit x_{1}, …, x_{p} : ℝ → ℝ des applications dérivables et g : ℝ^{p} → ℝ une application différentiable. Si on pose G(t) = g(x_{1}(t), …, x_{p}(t)), on a

\frac{∂G}{∂t} = ∑_{i=1}^{p} \frac{∂g}{∂x_{i}} \frac{∂x_{i}}{∂t} , c’est-à-dire G′(t) = ∑_{i=1}^{p} \frac{∂g}{∂x_{i}} (x_{1}(t), …, x_{p}(t)) × x′_{i}(t).

– Si la dérivée partielle \frac{∂f}{∂x_{i}} existe et est dérivable par rapport à x_{j} on note

\frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{∂f}{∂x_{i}} ) et, si i = j, \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}^{2}} = \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂f}{∂x_{i}} ).

– Par récurrence, on dit que f est de classe C^{k} sur U si elle admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables qui sont de classe C^{k−1} sur U.

– Théorème de Schwarz. Si f est de classe C^{2} sur U alors on a, pour tous i, j ∈ {1, …, n} :

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} .

I. Soit f : ℝ^{2} → ℝ^{2} et g : ℝ^{2} → ℝ les applications définies par

f(x, y) = (x + y, x − y) et g(x, y) = sin(x^{2} − y^{2}).

1. Calculer les matrices jacobiennes de f, g et g ∘ f en tout point de ℝ^{2}.

2. Déduire de la question précédente l’expression des dérivées partielles de la fonction h : ℝ^{2} → ℝ définie par h(x, y) = sin(4xy). Vérifier le résultat par un calcul direct.

II. Soit f : ℝ^{2} → R une application de classe C^{1} et g : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par g(x, y) = f(y, x). Montrer que g est de classe C^{1} et exprimer ses dérivées partielles en fonction de celles de f.

III. Soit g : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{1} et f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie par

f(x, y) = sin(x + g(y^{2}, x)).

Montrer que f est de classe C^{1} et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de g. IV. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sin(x − y)}{x − y} & si x ≠ y \\ 1 & si x = y. \end{matrix}

Montrer que f est différentiable sur ℝ^{2} et déterminer ses dérivées partielles. V. Soit f : ℝ^{3} → ℝ une application de classe C^{1} et soit g : ℝ^{3} → ℝ l’application définie par

g(x, y, z) = f(x^{2} − y^{2}, y^{2} − z^{2}, z^{2} − x^{2}).

Montrer que g est de classe C^{1} et que pour tout réel t on a

\frac{∂g}{∂x}(t, t, t) + \frac{∂g}{∂y} (t, t, t) + \frac{∂g}{∂z} (t, t, t) = 0.

VI. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy(x^{2} − y^{2})}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

1. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et C^{2} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

2. Montrer que \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) existent et les calculer.

3. f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?

VII. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{4}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

1. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et C^{2} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

2. Montrer que \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) existent et les calculer.

3. f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?

VIII. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{(x^{2} − y^{2})^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

1. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

2. Calculer \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} sur ℝ^{2} et en déduire que f n’est pas de classe C^{2} sur ℝ^{2}.

IX. Soit g : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et soit f : ℝ^{2} → ℝ^{2} l’application définie par

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}, xy) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Montrer que g ∘ f est de classe C^{2} sur ℝ^{2} et calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de g ∘ f en fonction des dérivées partielles de g.