Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 8

Rappels de cours. Soit n ∈ ℕ^{∗}, U une partie de ℝ^{n} et f : U → ℝ une application.

– On dit que f admet un minimum (resp. un maximum) global en a ∈ U si f(a) ≤ f(x) (resp. ≥ f(x)) pour tout x ∈ U.

– On dit que f admet un minimum (resp. un maximum) local en a ∈ U s’il existe un ouvert V ⊂ ℝ^{n} contenant a tel que f(a) ≤ f(x) (resp. ≥ f(x)) pour tout x ∈ V ∩ U.

On suppose que U est un ouvert et que f est de classe C^{1}.

– Théorème des accroissements finis.

Si le segment [a, b] est inclus dans U, alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(b) − f(a) = df(c) · (b − a).

On suppose que U est un ouvert et que f est de classe C^{2}.

– On appelle laplacien de f la fonction Δf = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}^{2}} . On dit que f est harmonique si Δf = 0.

– On appelle matrice hessienne de f en a ∈ U la matrice n × n des dérivées partielles secondes :

H_{f}(a) = (\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a))_{i,j} .

I. Montrer que les fonctions suivantes sont harmoniques :

f : ℝ^{∗} × ℝ → ℝ, (x, y) ↦ arctan \frac{y}{x},

g : ℝ^{2} \ {(a, b)} → ℝ, (x, y) ↦ ln((x − a)^{2} + (y − b)^{2}).

II. Soit u : ℝ^{∗} ×]0, 2π[ → ℝ^{2} la fonction définie par u(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Soit f : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et posons F = f ∘ u.

1. Montrer que F est de classe C^{2} et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f.

2. Exprimer \frac{∂f}{∂x} (r cos θ, r sin θ) et \frac{∂f}{∂y} (r cos θ, r sin θ) en fonction de \frac{∂F}{∂r} , \frac{∂F}{∂θ} , r et θ.

3. Établir l’expression suivante du laplacien en coordonnées polaires :

(Δf)(r cos θ, r sin θ) = \frac{∂^{2}F}{∂r^{2}} (r, θ) + \frac{1}{r} \frac{∂F}{∂r} (r, θ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂θ^{2}} (r, θ).

4. On prend f(x, y) = x^{2} − y^{2}. Montrer que f est harmonique.

Que vaut F dans ce cas ?

5. Montrer plus généralement — et directement — que les fonctions F (r, θ) = r^{k} cos(kθ) des coordonnées polaires (r, θ) sont harmoniques, pour tout k ∈ ℤ.

III. Soit f : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{1} telle que

∀(x, y) ∈ ℝ^{2} \frac{∂f}{∂x} (x, y) = 0.

On souhaite montrer que « f ne dépend pas de x ».

1. Fixons y_{0} ∈ ℝ et posons f_{y_{0}}(x) = f(x, y_{0}) pour tout x ∈ ℝ.

Déterminer f′_{y_{0}} et en déduire que f_{y_{0}} est constante.

2. Montrer qu’il existe une fonction g : ℝ → ℝ telle que f(x, y) = g(y) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}. Montrer que g est de classe C^{1}.

3. Le résultat précédent reste-t-il valable pour une fonction f : [a, a′] × [b, b′] → ℝ?

4. On définit une fonction sur (ℝ ×]−∞, 0[) ∪ (ℝ^{∗} × [0, +∞[) en posant

f(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & si y < 0 ou x < 0 \\ y^{2} & si y ≥ 0 et x > 0. \end{matrix}

Représenter le domaine de définition de f et vérifier que la dérivée partielle de f par rapport à x est nulle en tout point. Montrer que f est de classe C^{1}. Le résultat de la question 2 s’applique-t-il ?

IV. Déterminer l’ensemble des fonctions f : ℝ^{2} → ℝ de classe C^{2} telles que :

1. \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} = 0  puis  2. \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} = 0.

On utilisera le résultat de l’exercice précédent.

V. Calculer les matrices hessiennes des applications suivantes, définies sur ℝ^{2} ou ℝ^{3} :

f(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}), g(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} − z^{2} + 2xy − 5yz, h(x, y) = x^{3}y^{2} + cos(xy).

Que peut-on remarquer sur ces exemples ? Démontrer que c’est un fait général.

VI. Déterminer les extrema locaux et globaux sur ℝ, puis sur [0, 2π], des applications suivantes :

\begin{matrix}f(x) = x^{2}, & h(x) = x^{3} − x, \\ g(x) = x^{3}, & k(x) = sin x. \end{matrix}

VII. Déterminer les extrema locaux et globaux de l’application f à valeurs réelles et définie sur la boule fermée B′((0, 0), 1) par l’égalité f(x, y) = x^{2} + y^{4}.