Université de Caen 2005-2006 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques 2^{e} semestre

Analyse Feuille n^{o} 9

Rappels de cours. Soit n ∈ ℕ^{∗}, D une partie de ℝ^{n} et f : D → ℝ une application.

– On dit que f admet un minimum (resp. un maximum) global en a ∈ D si f(a) ≤ f(x) (resp. ≥ f(x)) pour tout x ∈ D.

– On dit que f admet un minimum (resp. un maximum) local en a ∈ D s’il existe un ouvert V ⊂ ℝ^{n} contenant a tel que f(a) ≤ f(x) (resp. ≥ f(x)) pour tout x ∈ V ∩ D.

– On dit que f admet un point critique en a ∈ D si elle admet en ce point des dérivées partielles par rapport à toutes les variables qui sont nulles.

On suppose maintenant que D = U est un ouvert et f est de classe C^{2}.

– Propriété. Si f admet un extremum local en a ∈ U, alors a est un point critique de f.

– Formule de Taylor-Young. La formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en un point critique a ∈ U s’écrit :

f(a + h) = f(a) + \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{n} h_{i}h_{j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (a) + ∥h∥^{2}ε(h), avec lim_{h→0} ε(h) = 0.

On recherche maintenant des extrema sur D = φ^{−1}({0}) ⊂ U avec φ : ℝ^{n} → ℝ une application de classe C^{1} sans point critique sur D.

– Théorème. Si f admet un extremum local sur D en a, il existe λ ∈ ℝ tel que

∀ i = 1, …, n \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) = λ\frac{∂φ}{∂x_{i}} (a) (et φ(a) = 0).

– Lorsque la condition précédente est vérifiée, on a un minimum local en a si

∑_{i,j=1}^{n} h_{i}h_{j} \frac{∂^{2}(f − λφ)}{∂x_{i}∂x_{j}}(a) > 0 pour tout h ≠ 0 tel que ∑_{i=1}^{n} h_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) = 0,

et un maximum local en a si l’inégalité opposée est vérifiée pour les mêmes vecteurs h.

I. Rechercher les extrema des fonctions

f : ℝ^{3} → ℝ, (x, y, z) ↦ x^{2} + y^{2} + z^{2} − 2xyz,

g : ℝ^{2} ×]0, +∞[ → ℝ, (x, y, z) ↦ \frac{−x^{2}}{z} + xyz − z − y.

II. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = (x^{2} + y^{2})e^{−(x^{2}+y^{2})}.

1. Calculer les dérivées partielles et déterminer les points critiques de f.

2. Étudier la fonction g : ℝ_{+} → ℝ définie par g(u) = e^{−u}.

3. En déduire les extrema de f sur ℝ^{2}.

III. Soit a ∈ ℝ, et f : ]0, +∞[^{2} → ℝ définie par f(x, y) = x log y + y log x + a(x^{3} + y^{3}).

1. Calculer les dérivées partielles de f jusqu’à l’ordre 2 en (1, 1).

2. Pour quelles valeurs de a la fonction f admet-elle un extremum local en (1, 1) ? Préciser s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.

IV. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par l’égalité f(x, y) = x^{2} + xy^{2} + y^{6}.

1. Déterminer les points critiques de f.

2. Montrer que f(y^{3}, y) est du signe de y si 0 < |y| < 2. En déduire que f n’admet pas d’extremum local en (0, 0).

3. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 de f aux autres points critiques.

4. Montrer que f admet \frac{−1}{432} comme minimum local atteint en 2 points.

5. Montrer que si f(x, y) ≤ 0 alors xy^{2} + y^{6} ≤ 0 et x^{2} + xy^{2} ≤ 0. En déduire que f^{−1}(]−∞, 0[) ⊂ A, où A = [−1, 0] × [−1, 1].

6. Montrer que f(A) est une partie compacte de R contenant \frac{−1}{432} et toutes les valeurs négatives de f.

7. Montrer que la borne inférieure de f(A) est atteinte et que c’est un extremum global pour f. Déterminer sa valeur.

V. Soit h : ℝ^{2} → ℝ définie par h(x, y) = (x − y)^{2} + \frac{1}{3}(x + y)^{3}.

1. Montrer que h possède un seul point critique dans ℝ^{2} mais n’admet pas d’extremum local en ce point. On pourra considérer h(x, x).

2. On pose A = [−1, 1]^{2}. Montrer que la restriction de h à A possède un maximum et un minimum global qui ne sont pas atteints sur ]−1, 1[^{2}. Déterminer ces extrema.

VI. Déterminer la plus grande et la plus petite valeur de la cote z du plan z = 6 − 4x − 3y pour les points d’intersection de ce plan avec le cylindre x^{2} + y^{2} = 1.

VII. Déterminer les extrema liés des fonctions de deux variables suivantes :

1. z = xy pour x + y = 1 ;

2. z = x + 2y pour x^{2} + y^{2} = 5 ;

3. z = x^{2} + y^{2} pour \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 ;

4. z = (cos x)^{2} + (cos y)^{2} pour y − x = \frac{π}{4} .

VIII. Déterminer les extrema liés des fonctions de trois variables suivantes :

1. u = x − 2y + 2z pour x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 ;

2. u = x^{2} + y^{2} + z^{2} pour \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1, où 0 < a < b < c;

3. u = xy^{2}z^{3} pour x + y + z = 12 et x > 0, y > 0, z > 0 ;

4. u = xyz pour x + y + z = 5 et xy + yz + zx = 8.

IX. Démontrer l’inégalité \frac{1}{3}(x + y + z) ≥ \sqrt[3]{xyz} pour (x, y, z) ∈ ℝ_{+}^{3}, en cherchant le maximum de u = xyz pour x + y + z = S.