Université de Caen 1^{er} semestre 2005-2006 UFR de Sciences Mathématiques Licence 1 Approfondissement

FICHE D’EXERCICES N^{o} 5 Polynômes : racines, irréductibilité

On utilise les abréviations suivantes :

– DFI pour « décomposition en facteurs irréductibles » (et unitaires),

– PGCD pour « plus grand commun diviseur ».

[Racines et divisibilité.] Exercice 1. Soit P ∈ ℝ[X] un polynôme, et R le reste de la division euclidienne de P par X^{2} + 1.

a. Montrer que R(i) = P (i).

b. En déduire que X^{2} + 1 divise P si et seulement si i est racine de P.

c. Pour quelles valeurs de n ∈ ℕ le polynôme X^{n} + 1 est-il multiple de X^{2} + 1 ?

d. Le polynôme X^{2} + X + 1 divise-t-il X^{2004} − 1 ? X^{2005} − 1 ?

Exercice 2. Soit P = X^{6} + X^{4} et Q = X^{25} − X + 1.

a. Montrer sans calcul que les racines communes de P et Q sont exactement les racines de leur PGCD.

b. Quelles sont les racines de P dans ℂ?

c. Montrer (presque) sans calcul que P et Q sont premiers entre eux.

[Décomposition en facteurs irréductibles.] Exercice 3. Donner la DFI dans ℝ[X] des polynômes suivants :

– P1 = (X2 + 10X + 21)(X2 + 7X + 13) [= (X + 3)(X + 7)(X2 + 7X + 13)]

– P2 = X3 − 8X2 + 13X [= X(X − 4 − \sqrt{3})(X − 4 + \sqrt{3})]

– P3 = 2X3 + X2 − X − 2 [= 2(X − 1)(X2 + 3X/2 + 1)]

– P4 = X4 − 6X2 + 25 [= (X2 − 4X + 5)(X2 + 4X + 5)]

– P5 = X4 − 16X2 + 100 [= (X2 − 6X + 10)(X2 + 6X + 10)]

Exercice 4. Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme quelconque, Q_{1} = X^{4} − 6X^{2} − X + 6 et Q_{2} = X^{4} + 10X^{2} − X + 30. a. Montrer que P (X) − X divise P (P (X)) − X. b. Montrer que Q_{1} est de la forme P (P (X)) − X avec P = X^{2} + a et a un réel à déterminer. c. En déduire la DFI de Q_{1} dans ℝ[X]. [(X + 2)(X − 1)(X^{2} − X − 3)] d. Trouver de même la DFI de Q_{2} dans ℝ[X]. [(X^{2} + X + 6)(X^{2} − X + 5)]

Exercice 5. Soit P = 2X^{4} − 2X^{3} + 3X^{2} − X + 1 et Q = X^{4} − X^{3} + 3X^{2} − 2X + 2.

a. Calculer le PGCD de P et Q. [X^{2} − X + 1] b. Trouver la DFI dans ℝ[X] de P et Q.

(Utiliser la question précédente.) [P = (X2 − X + 1)(2X2 + 1), Q = (X2 − X + 1)(X2 + 2)]

[Racines multiples.] Exercice 6. Soit P = 2X^{5} + 5X^{4} + 8X^{3} + 7X^{2} + 4X + 1.

a. Calculer le PGCD de P et P′. [X^{2} + X + 1] b. Quelles sont les racines communes à P et P′? Quelles sont les racines multiples de P ? c. Montrer que (X^{2} + X + 1)^{2} divise P. d. Donner la DFI de P dans ℝ[X]. [2(X + 1/2)(X^{2} + X + 1)^{2}]

Exercice 7. Soit n ∈ ℕ^{∗} et P = ∑_{k=0}^{n} \frac{X^{k}}{k!} .

a. Calculer P′ − P.

b. Montrer que toutes les racines complexes de P sont simples.

Exercice 8. Soit a, b ∈ ℝ et P = X^{4} + aX^{3} + bX^{2} + aX + 1.

a. On suppose que 1 est racine de P.

Montrer que (X − 1)^{2} divise P et calculer le quotient de P par (X − 1)^{2}. [(X − 1)^{2}(X^{2} + (a + 2)X + 1)] b. On suppose que −1 est racine de P.

Montrer que (X + 1)^{2} divise P et calculer le quotient de P par (X + 1)^{2}. [(X + 1)^{2}(X^{2} + (a − 2)X + 1)]

[Nombre de racines.] Exercice 9. On cherche à déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P (X^{2} + 1) = P (X)^{2} + 1 et P (0) = 0.

a. Combien valent P (1), P (2), P (5) ?

b. On pose u_{0} = 0 et u_{n+1} = u_{n}^{2} + 1. Montrer que P (u_{n}) = u_{n} pour tout n ∈ ℕ.

c. En déduire que P = X.

Exercice 10. Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme tel que XP (X − 1) = (X − 2)P (X).

a. Montrer que 0 et 1 sont racines de P.

b. On suppose que P admet une racine x ∈ ℂ non entière.

– Montrer que x − 1 et x + 1 sont aussi racines.

– Montrer que P admet une infinité de racines.

– En déduire que P = 0. On suppose maintenant que P est non nul — il ne peut donc pas avoir de racine non entière.

c. Montrer comme à la question précédente que 0 et 1 sont les seules racines de P.

d. En déduire que P est de la forme αX^{k}(X − 1)^{l} avec α ∈ ℂ et k, l ∈ ℕ^{∗}.

e. Quel est l’ensemble des polynômes P ∈ ℂ[X] tels que XP (X − 1) = (X − 2)P (X) ? [k = l = 1]