LICENCE 1  2005-2006 SFE1  Mathématiques

FICHE D’EXERCICES N^{o} 2

Calculs de dérivées, accroissements finis, fontions usuelles

1) Tansformer en sommes de sinus et cosinus les produits suivants :

cos(2x) cos(x), cos(x) sin(x) cos(3x), sin(x)^{3}.

2) Montrer, en le calculant, que le nombre (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} est un entier.

3) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes, montrer qu’elles sont dérivables sur leur domaine de définition et calculer leurs dérivées.

– f(x) = 5x^{7} + 3x^{3} − 4x^{2} + 9x + 5 – g(x) = xe^{x}

– h(x) = \frac{6x + 5}{x^{2} + 1} – i(x) = cos (\sqrt{x})

– j(x) = sin(x) log(x) – k(x) = \sqrt{\sqrt{1 + x^{2}}}

– l(x) = \frac{6 sin x + 5}{(sin x)^{2} + 1} – m(x) = (1/\sqrt{x})^{\sqrt{x}}

4) Posons f(x) = x^{x+x^{−1}} pour x > 0 et f(0) = 0. La fonction f ainsi définie sur ℝ_{+} est-elle continue ? dérivable ? Sa dérivée est-elle continue ? (La dernière question est assez calculatoire.)

5) Rappelons que l’on note E la fonction « partie entière ». Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 1 ?

– f(x) = E(x)^{2}

– g(x) = (x − 1)E(x)

– h(x) = (x − 1)^{2}E(x)

6) On pose f(x) = (x − E(x)) sin \frac{πx}{2} pour tout x ∈ ℝ.

a. Montrer que f est périodique et en déterminer une période.

b. Déterminer l’ensemble des entiers n tels que f est continue en n.

c. En quels entiers f est-elle dérivable ?

7) Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable en 0 telle que f(0) = 0 et f′(0) = 2.

a. Montrer que \frac{f(sin x)}{x} a une limite quand x tend vers 0 et calculer cette limite.

b. Soit n un entier naturel, montrer que lim_{x→1} \frac{f(x^{n}−1)−f(x−1)}{x−1} existe et la calculer.

c. Montrer que lim_{x→0} \frac{f(2x)^{2}−f(3x^{2})}{x^{2}} existe et la calculer.

Rappel. On dit que les graphes de deux fonctions sont tangents en un point s’ils se coupent en ce point et y ont la même tangente.

8) On rappelle que pour tout x ∈ ℝ_{+}^{∗} \ {1} on a log x < x − 1. On pose u(x) = x^{e} et v(x) = e^{x} pour x > 0.

a. Comparer u et v sur ℝ_{+}^{∗}. (On pourra prendre le log puis poser y = x/e.)

b. Montrer que les graphes de u et v sont tangents en un unique point.

c. Représenter ces graphes et leur tangente commune sur un dessin.

9) Soit P la parabole d’équation y = x^{2}.

a. Montrer que la droite d’équation y = ax + b est tangente à P si et seulement si 4b + a^{2} = 0.

b. Soit D_{1} et D_{2} deux droites tangentes à P de pentes a_{1} ≠ a_{2}.

Déterminer en fonction de a_{1} et a_{2} les coordonnées du point d’intersection de D_{1} et D_{2}. c. Montrer que deux tangentes à P sont perpendiculaires ssi elles se coupent sur la droite y = −1/4.

10) On considère la fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = 2x^{3} + 4x^{2} − 10x + 9.

a. Calculer f(2), f(−3) et f′.

b. Montrer que l’équation 6x^{2} + 8x − 10 = 0 admet une solution dans l’intervalle ] − 2, 3[.

c. Peut-on calculer cette solution ? On s’intéresse maintenant à g : x ↦ e^{\sqrt{x}} sin(x), définie sur ℝ_{+}.

d. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles g(x) = 0. Calculer g′.

e. Montrer que l’équation sin(x) = −2\sqrt{x} cos(x) a une solution non nulle dans [0, 4].

f. Peut-on calculer cette solution ?

11) Soit P une fonction polynômiale de la forme P (x) = x^{n} + ax + b avec n ∈ ℕ \ {0, 1} et a, b ∈ ℝ. a. Combien l’équation P′(x) = 0 a-t-elle de solutions ? (On discutera selon la parité de n et le signe de a.) b. Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable s’annulant en k points distincts, avec k ≥ 2.

Montrer que f′ s’annule en au moins k − 1 points distincts. c. Montrer que P a au plus deux racines réelles si n est pair, et au plus trois si n est impair.

12) Soit a un réel et f : [a, +∞[→ ℝ une fonction continue sur [a, +∞[ et dérivable sur ]a, +∞[. On suppose que lim_{x→∞} f(x) = f(a). On souhaite démontrer l’existence de c ∈]a, +∞[ tel que f′(c) = 0.

a. Quel théorème du cours cela vous rappelle-t-il ? On définit g : [0, e^{−a}] → ℝ en posant g(0) = f(a) et g(x) = f(− log x) pour x ∈]0, e^{−a}].

b. Montrer que g est continue sur [0, e^{−a}] et dérivable sur ]0, e^{−a}[.

Calculer g′ et comparer g(0) et g(e^{−a}). c. Montrer qu’il existe c ∈]a, +∞[ tel que f′(c) = 0.

Question subsidiaire :

d. Trouver une fonction intermédiaire qui permet de démontrer le résultat analogue pour f : ]0, 1[→ ℝ dérivable et telle que lim_{x→0} f(x) = lim_{x→1} f(x) = +∞.

13) Soit a < b deux réels distincts. Pour toute fonction f : [a, b] → ℝ on note G_{f} le graphe de f. Pour tout x ∈ ℝ on note P_{x} le point de coordonnées (x, 0).

a. On prend a = 0, b = 1 et f(x) = x(x − 1). En particulier f(a) = f(b) = 0. Tracer G_{f}.

Tracer, lorsque c’est possible, une tangente à G_{f} passant par P_{− \frac{1}{2}} , P_{\frac{1}{2}} , P_{3}. On veut maintenant montrer que pour toute fonction dérivable f telle que f(a) = f(b) = 0, et pour tout c ∉ [a, b], on peut trouver une tangente à G_{f} passant par P_{c}.

b. On suppose f dérivable sur [a, b]. Soit x_{0} ∈ [a, b].

Montrer que la tangente à G_{f} en (x_{0}, f(x_{0})) passe par P_{c} si et seulement si f′(x_{0})(x_{0} − c) − f(x_{0}) = 0. c. On suppose de plus que f(a) = f(b) = 0.

Trouver une fonction simple dont la dérivée ressemble à f′(x)(x − c) − f(x) et qui s’annule en a et b. Conclure en utilisant le théorème de Rolle.

d. À quel moment a-t-on utilisé le fait que c ∉ [a, b] ? Que se passe-t-il si c = a? Application :

e. Soit f : [0, 2π] → ℝ donnée par f(x) = e^{cos(2x)} sin(x).

Montrer que pour tout c ∈ ℝ on peut trouver une tangente à G_{f} passant par P_{c}.

14) On note H_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et R_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{k}} pour tout entier n ∈ ℕ^{∗}.

a. Montrer que pour tout réel x > 0 on a les inégalités \frac{1}{x + 1} < log(x + 1) − log x < \frac{1}{x}.

b. Déduire de la question précédente l’encadrement log n ≤ H_{n} ≤ log n + 1.

c. Montrer que pour tout réel x ≥ 1 on a \sqrt{x + 1} − \sqrt{x} < \frac{1}{2\sqrt{x}} < \sqrt{x} − \sqrt{x − 1}.

d. Déduire de la question précédente la partie entière de R_{n^{2}}.

15) Soit a et b deux réels. a. Montrer qu’il existe un réel c tel que a^{3} − b^{3} = 3c^{2}(a − b). (Utiliser le théorème des accroissements finis.) b. En déduire que a^{2} + ab + b^{2} est positif, et nul si et seulement si a = b = 0.

Rappel. On dit qu’une fonction f : I → ℝ est bornée s’il existe K ∈ ℝ tel que |f(x)| ≤ K pour tout x ∈ I.

16) Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable telle que f′ est bornée.

a. Montrer qu’il existe un réel K ≥ 0 tel que |f(x) − f(0)| ≤ K|x| pour tout x ∈ ℝ.

Expliquer pourquoi on peut choisir K ≥ |f(0)|.

b. En déduire que la fonction x ↦ \frac{f(x)}{1 + |x|} est bornée.