Régularité des fonctions de deux variables exemples

1. Fonction non prolongeable par continuité en (0, 0)

Fig. 1 – f(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} (fiche 5, exercice 3)

2. Fonction continue sur toute droite, mais non continue en (0, 0)

Fig. 2 – f(x, y) = \frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} (fiche 5, exercice 4)

3. Fonction continue, dérivable par rapport à x et y, mais non différentiable en (0, 0)

Fig. 3 – f(x, y) = \frac{sin(xy)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} (fiche 6, exercice 10)

4. Fonction continue, dérivable sur toute droite, mais non différentiable en (0, 0)

Fig. 4 – f(x, y) = \frac{sin(x^{3}) − sin(y^{3})}{x^{2} + y^{2}} (fiche 6, exercice 13)

5. Fonction différentiable, mais pas de classe C^{1}

Fig. 5 – f(x, y) = y^{2} sin (\frac{x}{y}) (fiche 6, exercice 11)

6. Fonction de classe C^{1}

Fig. 6 – f(x, y) = \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2} + y^{2}} (fiche 6, exercice 9)