L1 Sciences, 1^{er} semestre 2006–2007 Mathématiques, Groupe A

Plan du cours

Chapitre 1. Structures fondamentales de l’analyse

I Nombres réels

02/10 Notations : ℕ, ℤ, ℝ, ℕ^{∗}, ℝ_{+}^{∗}, ⊂, ∈.

a) Algèbre Symboles ∑ et ∏, factorielle. Identités remarquables. Racines d’un trinôme du second degré.

b) Ordre Notations max, min, | · |. Intervalles. Inégalité triangulaire. Partie entière.

II Fonctions

09/10 Notations.

a) Opérations provenant de ℝ Opérations sur les fonctions. Parité, periodicité. Comparaison entre fonctions. Monotonie.

b) Opérations ensemblistes Image directe et réciproque. Composition. Fonction bijective, fonction réciproque.

III Fonctions usuelles

a) Fonctions trigonométriques Définition géométrique, symétries, periodicité. Dérivées, Graphes. Formules d’addition, (cos x)^{2}+ (sin x)^{2} = 1, formules d’Euler, | sin x| ≤ |x|.

b) Logarithme et exponentielle Primitive de 1/x. Produit et inverse. Log(1 + x) ≤ x. Limites de Log x, x Log x et (Log x)/x. Réciproque de Log. Dérivée. Somme et opposé. Limites de exp x, x exp x, (exp x)/x. Graphes.

c) Fonctions puissance Puissances entières sur ℝ / ℝ^{∗}, racines n^{ièmes} sur ℝ / ℝ_{+}. Définition générale sur ℝ_{+}^{∗}. exp x = e^{x}. Règles de calcul. Graphes.

d) Fonctions hyperboliques Définition, symétries. Graphe.

Chapitre 2. Limites, continuité, dérivée

I Limites

16/10

a) Quantificateurs Introduction aux quantificateurs, négation. Point d’accumulation d’une partie de ℝ. Parties majorées, minorées, non majorées.

b) Définition Définition intuitive, définition mathématique. Limites à droite et à gauche. Limites en l’infini, limites infinies. Premières propriétés.

c) Algèbre Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Formes indéterminées. Limite d’une fonction composée.

d) Ordre Passage à la limite dans les inégalités. Théorème des gendarmes.

II Continuité et dérivation

18/10

a) Continuité Limite en un point du domaine de définition. Continuité en un point. Exemples : continuité, discontinuités de première et seconde espèce.

b) Dérivée Taux d’accroissement, dérivée. Dérivable ⇒ continue. Exemple : x ↦ \sqrt{x}.

c) Algèbre Règles de calcul avec les dérivées.

Chapitre 3. Développements limités

23/10

I Définition et utilisation

a) Interprétation graphique de la dérivée Caractérisation de la dérivée par un DL. Interprétation graphique. Idée des développements limités, aproximations du graphe de cos.

b) Définition Définition d’un développement limité. Unicité des coefficients. Exemple : \frac{1}{1−x} et \frac{1}{1+x}. Développements de exp, cos, sin, (1 + x)^{α}.

c) Algèbre Troncature, somme, produit, composée, quotient. Remarque sur l’ordre et les termes significatifs. Cas des fonctions paires, impaires.

II Formule de Taylor-Lagrange

25/10

a) La formule Dérivées d’ordre supérieur, fonctions de classe C^{n}. Théorème de Taylor-Lagrange, application aux DLs. Exemples : exp, cos.

b) Quelques démonstrations Admis : image continue d’un compact. Variations, extrema et dérivée. Lemme de Rolle,

30/10 Formule de Taylor-Lagrange. Accroissements finis, variations et dérivée.

Chapitre 4. Fonctions de plusieurs variables

06/11

c) Définition L’ensemble ℝ^{n}. Fonction réelle sur ℝ^{n}. Opérations, composition. Graphe. Cas des fonctions affines.

d) Dérivées partielles Définition. Exemple. Plan tangent. Cas n = 1, n = 2.

e) Dérivées secondes

07/11 Fonctions dérivées partielles. Dérivées secondes, notation. Théorème de Schwarz.

f) Extrema Extrema globaux et locaux. Condition nécessaire, points critiques. Condition suffisante. Dessin : minimum local, point col.