Licence 1 2006-2007 Mathématiques EM11

Groupe A

Devoir Maison

à rendre le lundi 23 octobre

Exercice 1. Soit a un réel positif.

a. Montrer par récurrence sur k qu’on a (1 + a)^{k} ≥ 1 + ka pour tout entier k ∈ ℕ.

b. Montrer qu’on a (1 + a)^{n} − 1 = a ∑_{k=0}^{n−1}(1 + a)^{k} pour tout n ∈ ℕ.

c. En utilisant les deux questions précédentes, montrer qu’on a (1 + a)^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)}{2}a^{2} pour tout n ∈ ℕ.

d. Montrer qu’on a 1 + \sqrt{\frac{2}{n}} ≥ \sqrt[n]{n} ≥ 1 pour tout n ∈ ℕ^{∗} en utilisant la question précédente.

e. En déduire la limite de \sqrt[n]{n} quand n tend vers l’infini.

Remarques. Les inégalités de cet exercice se démontrent plus simplement lorsqu’on connaît la formule du binôme de Newton :

(1 + a)^{n} = ∑_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{k},

avec notamment C_{n}^{1} = n, C_{n}^{2} = \frac{n(n − 1)}{2}. Par ailleurs le résultat final de l’exercice s’exprime aussi sous la forme

lim_{n→∞} \frac{Log n}{n} = 0.

Exercice 2. Soit D ⊂ ℝ, x_{0} un point d’accumulation de D, f et g deux fonctions définies sur D telles que les limites suivantes existent :

l = lim_{{x→x_{0} \atop x∈D}} f(x), m = lim_{{x→x_{0} \atop x∈D}} g(x).

a. Lire dans le cours et comprendre la démonstration du résultat suivant :

lim_{{x→x_{0} \atop x∈D}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m}

lorsque g ne s’annule pas sur D et m ≠ 0. b. En imitant cette démonstration, montrer que

lim_{{x→x_{0} \atop x∈D}} (f + g)(x) = l + m.

c. De même, montrer que

lim_{{x→x_{0} \atop x∈D}} (f × g)(x) = lm.

On pourra remarquer que f(x)g(x) − lm = (f(x) − l)g(x) + (g(x) − m)l, et on commencera par trouver α_{1} > 0 tel que |g(x)| ≤ |m| + 1 pour tout x ∈ D tel que |x − x_{0}| < α_{1}.